概率论直觉（一）：大数定律
想象一下抛掷 n 枚硬币。正面朝上的比例会是一个随机值，可能是 0.48，也可能是 0.53，它会变化。但大数定律是这么说的：
当 n 趋近于无穷大时，正面朝上的比例会收敛到真实概率 (0.5)。不仅仅是“接近”，它以概率 1 收敛。随机性并没有消失，但它对平均值的影响会减小。
这样想：抛掷 10 枚硬币，出现 7 次正面朝上（70%）并不奇怪。但用一百万枚硬币，得到70万枚正面朝上（70%）的概率微乎其微。样本越多，实际比例就越集中在预期值附近。
所以，这种“确定性”出现在极限情况下,并非对任何单个结果的确定性，而是对整体行为的确定性。即使每个个体事件仍然是随机的，平均值也会趋于稳定。
大数定律不仅仅是对我们观察到的现象的描述，它是一个可以被证明的数学定理。我们不需要真的抛掷无数枚硬币来验证它的正确性，就像我们不需要测量每一个三角形来验证勾股定理一样。
证明过程运用了概率和极限的正式定义。我们首先做出一些假设，比如每次抛硬币都是独立的，概率为1/2。然后运用数学推理来证明：当n趋于无穷大时，平均值必然收敛于期望值。
关键工具包括切比雪夫不等式，或者更复杂的方法。它们表明，平均值与真实值偏差任意固定值的概率随着 n 的增大而趋近于零。
我们永远无法真正达到无穷大。但证明告诉我们，在无穷大的极限情况下会发生什么，更实际地说，它告诉我们，对于较大的有限值 n，收敛的速度有多快。
让我们先来看一下更直观的“弱大数定律”。
假设我们抛掷 n 枚硬币。每次抛掷的结果 Xi 都是随机的：正面为 1，反面为 0。每次正面朝上的概率都是 1/2。
平均值是：(X₁ + X₂ + ... + Xn)/n
我们想证明，随着 n 的增大，这个平均值会趋近于 1/2。
关键在于，我们可以用方差来衡量随机值的“分散程度”。抛一次硬币，方差是 1/4。
现在，当你对 n 个独立的随机变量取平均值时，该平均值的方差为：（一次抛硬币的方差）/n = 1/(4n)
这一点至关重要，随着 n 增大，方差会减小。平均值的分布范围会缩小，更集中在 1/2 附近。然后我们使用切比雪夫不等式，它指出：偏离期望值的概率受方差的限制。