【线性代数】期末速通！
1. 行列式的性质
1.1 求一个行列式的值
特殊地，对角线左下全为0，结果为对角线乘积。行 r 列 c
1.2 性质
- 某行（列）加上或减去另一行（列）的几倍，行列式不变
- 某行（列）乘 k，等于 k 乘此行列式
- 互换两行(列)，行列式变号
2. 行列式的计算及应用
见书 P22，P18
2.1 公式应用
2.2 公式应用
2.3 性质应用
①两行(列)相同或成比例时，行列式为0
②某行(列)为两项相加减时，行列式可拆成两个行列式相加减
2.4 求余子式（M）、代数余子式（A）
2.5 公式应用
2.6 多个 A 或 M 相加减
2.7 给一个方程组，判断其解的情况
3. 矩阵的运算上
3.1 矩阵加减
3.2 矩阵相乘
前行乘后列
结果行数等于前项，结果列数等于后项
特殊情况：
3.3 矩阵取绝对值
| A ^-1 | = | A | ^-1
行矩阵或者列矩阵的行列式的值就是各个数相乘。
对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,…,an) 。
4. 矩阵的运算下
4.1 转置
先用行乘列，简化运算。
4.2 证明矩阵可逆
4.3 求逆矩阵
A 和 E 同时进行变换。
4.4 公式应用
4.5 公式应用
4.6 求矩阵的秩或未知数
对矩阵进行行变换，是下行左端的0比上行多，直到下面行全为0为止。
秩为不全为0的行数。
一个矩阵（非零）和它的转置矩阵相乘的积的秩为 1。零矩阵时为零。
5. 向量组与线性空间
5.1 判断某向量是否可以由某向量组线性表示
5.2 判断某个向量组是否线性相关
5.3 已知三维向量空间的一组基底，求某一向量在此基底下的坐标
5.4 求几个行向量的极大无关组
操作步骤里面只有第一行和第四行做过交换，因此把前面的序号从1，2，3，4变为4，2，3，1。
6. 解方程组
6.1 判断方程组解的情况
6.2 解方程组（通解）
第②步：因为秩为3，所以将矩阵的前三行前三列的对角线变为1，其他变为0。
6.3 求方程组的通解、特解、基础解系
通解即为上述 6.2 中解出的方程组的解。
特解即为将 k 附任意值，得出的解。
基础解系是 k 后面的矩阵：
6.4 已知某方程组的多个特解，求某齐次方程组的通解
X1和X2不成比例就是线性无关。
6.5 已知某方程组的多个特解，求某非齐次方程组的通解
通解 = Ax=b 的一个特解 + 导出组的基础解系的线性组合
6.6 判断解集合中线性无关的解向量个数
7. 方阵对角化及其应用
7.1 规范正交化
比如：
7.2 求矩阵的特征值
7.3 求矩阵的特征向量
先求特征值。
7.4 判断方阵是否与对角阵相似
7.5 求方阵对应的对角阵及可逆变换矩阵
7.6 已知条件，求关于 A 的复杂式子
8. 二次型
8.1 求二次型对应的系数矩阵
8.2 把二次型化成标准型
8.3 把二次型化成规范形
8.4 用配方法把二次型化成标准型
8.5 判断二次型的正定性
系数矩阵的顺序主子式均大于 0 时，该二次型正定。
8.6 二次型为正定的等价条件
满足任意一条即可。
9. 其他题型
9.1 化为最简形矩阵
行最简型：①画楼梯②非零行首个一（也就是阶梯处）所在的列其他数都为零
此题型有时答案可能不唯一。
（A矩阵的逆可以理解为 1 / A）
9.2 判断一个矩阵是否可逆
证明一个矩阵可逆的方法有5种：
（1）看这个矩阵的行列式值是否为0，若不为0，则可逆；
（2）看这个矩阵的秩是否为n，若为n，则矩阵可逆；
（3）定义法：若存在一个矩阵B，使矩阵A使得AB=BA=E，则矩阵A可逆，且B是A的逆矩阵；
（4）对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆；
（5）对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆。
9.3 判断矩阵是否相似合同
9.4 矩阵消去律
消去左矩阵需要左矩阵满秩，消去右矩阵需要右矩阵满秩。
矩阵消去律详解
