【11408学习记录】考研数学概率论核心突破：一维随机变量函数分布——公式法 分布函数法精讲！​

数学

概率论与数理统计

一维随机变量函数的分布

概念

设 $X$ 为随机变量，函数 $y=g(x)$ ，则以随机变量 $X$ 作为自变量的函数 $Y=g(X)$ 也是随机变量，称为随机变量 $X$ 的函数.

随机变量函数的分布

1. 离散型 $\to$ 离散型

设 $X$ 为离散型随机变量，其概率分布为 P{X=xi}=pi(i=1,2,⋯)P\{X = x_i\} = p_i(i = 1, 2, \cdots)P{X=xi​}=pi​(i=1,2,⋯) ，则 $X$ 的函数 $Y=g(X)$ 也是离散型随机变量，其概率分布为 P{Y=g(xi)}=pi(i=1,2,⋯)P\{Y = g(x_i)\} = p_i(i = 1, 2, \cdots)P{Y=g(xi​)}=pi​(i=1,2,⋯) ，即：

$$Y\sim \left(\begin{array}{ccc}g(x_1)& g(x_2)& \cdots \\ p_1& p_2& \cdots \end{array}\right)$$

如果有若干个 $g(x_i)$ 值相同，则合并诸项为一项 $g(x_k)$ ，并将相应概率相加作为 $Y$ 取 $g(x_k)$ 值的概率.

2. 连续型 $\to$ 连续型（或混合型）

设 $X$ 为连续型随机变量，其分布函数、概率密度分别为 $F_X(x)$ 与 $f_X(x)$ ，随机变量 $Y=g(X)$ 是 $X$ 的函数，其 $Y$ 的分布函数或概率密度可用下面两种方法求得.

• 分布函数法（定义法）

直接由定义求 $Y$ 的分布函数：FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=∫g(x)≤yfX(x)dxF_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{g(X) \leq y\} = \int_{g(x) \leq y} f_X(x)dxFY​(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=∫g(x)≤y​fX​(x)dx.

如果 $F_Y(y)$ 连续，且除有限个点外，$F_Y^{\prime }(y)$ 存在且连续，则 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)$

• 公式法

根据上面的分布函数法，若 $y=g(x)$ 在 $(a,b)$ 上是关于 $x$ 的严格单调可导函数，则存在 $x=h(y)$ 是 $y=g(x)$ 在 $(a,b)$ 上的可导反函数.

若 $y=g(x)$ 严格单调增加，则 $x=h(y)$ 也严格单调增加，即 $h^{\prime }(y)>0$ ，且：

FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤h(y)}=∫−∞h(y)fX(x)dxF_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{g(X) \leq y\} = P\{X \leq h(y)\} = \int^{h(y)}_{-\infty}f_X(x)dx FY​(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤h(y)}=∫−∞h(y)​fX​(x)dx

故 $f_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)=f_X[h(y)]\cdot h^{\prime }(y)$.

若 $y=g(x)$ 严格单调减少，则 $x=h(y)$ 也严格单调减少，即 $h^{\prime }(y)<0$ ，且：

FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≥h(y)}=∫h(y)+∞fX(x)dxF_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{g(X) \leq y\} = P\{X \geq h(y)\} = \int^{+\infty}_{h(y)}f_X(x)dx FY​(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≥h(y)}=∫h(y)+∞​fX​(x)dx

故 $f_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)=-f_X[h(y)]\cdot [-h^{\prime }(y)]$. 综上：

$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{f}_X[h(y)]\cdot |h^{\prime }(y)|,& \alpha <y<\beta \\ 0,& 其他\end{array}$$

其中 α=min{lim⁡x→a+g(x),lim⁡x→b−g(x)},β=max{lim⁡x→a+g(x),lim⁡x→b−g(x)}\alpha = min\{\lim\limits_{x \rightarrow a^{+}}g(x), \lim\limits_{x \rightarrow b^{-}}g(x)\}, \beta = max\{\lim\limits_{x \rightarrow a^+}g(x), \lim\limits_{x \rightarrow b^-}g(x)\}α=min{x→a+lim​g(x),x→b−lim​g(x)},β=max{x→a+lim​g(x),x→b−lim​g(x)}.