数列魔法：母函数解锁递推关系秘密

📚 数列魔法：用母函数解锁递推关系的秘密

——从递推公式到组合意义的多角度拆解

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🎯 问题描述

题目：数列 {pn}\{p_n\}{pn​} 满足 $p_1=2$，$p_2=5$，且递推关系为 $p_{n+2}=2p_{n+1}+p_n$（$n\ge 1$）．证明：对任意正整数 $n$，
$$p_n=\sum \frac{(i+j+k)!}{i!j!k!},$$
其中求和对所有满足 $i+j+2k=n$ 的非负整数组 $(i,j,k)$ 进行．

破题点：递推关系看似简单，但右边组合求和式复杂．如何建立两者联系？👉 母函数或组合模型是关键！

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🔍 破题思路

第一步：观察递推关系 $p_{n+2}=2p_{n+1}+p_n$，发现系数 $(2,1)$ 暗示可能需要二次生成函数．
第二步：右边组合式 $\frac{(i+j+k)!}{i!j!k!}$ 像多重排列数，能否用拼图模型解释？
第三步：尝试两种证明——

1. 代数派：用母函数暴力展开，匹配系数．
2. 组合派：构造实际意义，证明两边计数等价．

💡 选择策略：母函数更直接，组合模型更直观．本文双管齐下！

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📝 关键推导

证法一：母函数降维打击

Step 1：补充定义 $p_0=1$（为了生成函数形式统一），设母函数：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{p}_n{x}^n．$$

Step 2：利用递推关系拆解求和（⚠️注意下标变换）：
$$\begin{array}{rl}& f(x)\\ =& 1+2x+\sum _{n=2}^{+\infty }{p}_n{x}^n\\ =& 1+2x+\sum _{n=2}^{+\infty }(2p_{n-1}+p_{n-2})x^n\\ =& 1+2x+2x\sum _{n=1}^{+\infty }{p}_n{x}^n+x^2\sum _{n=0}^{+\infty }{p}_n{x}^n\\ =& 1+2x+2x(f(x)-1)+x^{2}f(x)．\end{array}$$

Step 3：解方程得母函数封闭形式：
$$f(x)=\frac{1}{1-2x-x^2}=\sum _{n=0}^{+\infty }(2x+x^2{)}^n．$$

Step 4：展开 $(x+x+x^2{)}^n$（💡妙招：视为三重选择），用多重排列公式：
$$(x+x+x^2{)}^n=\sum _{i+j+k=n}\frac{n!}{i!j!k!}{x}^{i+j+2k}．$$
合并同类项后，对比 $x^m$ 系数即得：
$$p_m=\sum _{i+j+2k=m}\frac{(i+j+k)!}{i!j!k!}．$$

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证法二：组合模型脑洞

Step 1：设计拼图规则——

• 红色方块（$1\times 1$）、绿色方块（$1\times 1$）、黄色长条（$1\times 2$）拼 $1\times n$ 长条．
• 多重排列数 $\frac{(i+j+k)!}{i!j!k!}$ 即对应 $i$ 红、$j$ 绿、$k$ 黄的排列方式．

Step 2：验证递推关系——

• 最后一块是红/绿：剩余 $1\times (n-1)$ 拼法数为 $p_{n-1}$，共 $2p_{n-1}$ 种．
• 最后一块是黄：剩余 $1\times (n-2)$ 拼法数为 $p_{n-2}$．
• 故 $p_n=2p_{n-1}+p_{n-2}$，与题目一致！

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🌟 总结升华

1. 母函数法：适用于线性递推关系，将数列问题转化为函数展开．
2. 组合建模：赋予数列实际意义，用计数原理反向验证．
3. 举一反三：遇到类似问题可尝试——
   • 高阶递推？升维母函数分母次数．
   • 复杂组合式？寻找多重排列或分组模型．

🎯 终极心法：数学的优雅在于——代数与几何的双向奔赴！

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