UVa 1620 Lazy Susan

题目描述

有 $N$ 个弹珠，标号为 $1,2,\dots ,N$，它们被按任意顺序放置在一个环形轨道上。轨道顶部有一个“懒人转盘”（$\text{Lazy Susan}$），这是一个可以容纳恰好 $4$ 个弹珠的托盘。托盘可以旋转 $180^{\circ }$ 来反转 $4$ 个弹珠的顺序，也可以沿着轨道在两个方向上移动。

目标是通过移动和旋转托盘，使得从某个位置开始沿顺时针方向列出弹珠时，得到顺序 $(1,2,\dots ,N)$。

输入格式

输入文件包含多个测试数据。第一行是一个不超过 $100$ 的正整数，表示测试数据组数。接下来描述各组数据：

• 每组数据第一行是整数 $N$ ($8\le N\le 500$)
• 第二行包含 $N$ 个整数，表示按顺时针顺序列出的弹珠标签

输出格式

对于每组测试数据，输出一行：如果存在解决方案则输出 possible，否则输出 impossible。

题目分析

关键操作分析

1. 托盘旋转操作：反转连续 $4$ 个弹珠的顺序
2. 托盘移动操作：将托盘沿着轨道移动到相邻位置

这两种操作结合起来，实际上可以在环形轨道上反转任意连续 $4$ 个弹珠的顺序。

数学建模

这是一个排列群问题，我们需要分析这些操作对排列奇偶性的影响：

1. 反转 $4$ 个元素相当于执行 $3$ 次相邻交换

   • $3$ 是奇数，所以每次反转操作都会改变排列的奇偶性

2. 环形旋转相当于执行 $N-1$ 次相邻交换

   • 当 $N$ 为偶数时，$N-1$ 为奇数，旋转改变奇偶性
   • 当 $N$ 为奇数时，$N-1$ 为偶数，旋转不改变奇偶性

可达性分析

基于以上分析，我们可以得出以下结论：

• 当 $N$ 为偶数时：
  旋转操作可以改变奇偶性，反转操作也可以改变奇偶性，因此总是能够通过合适的操作序列达到目标状态。

• 当 $N$ 为奇数时：
  旋转操作不能改变奇偶性，只能依靠反转操作来改变奇偶性。由于反转操作总是改变奇偶性，我们需要初始排列的奇偶性与目标状态一致。目标状态 $(1,2,\dots ,N)$ 是偶排列（逆序数为 $0$），因此需要初始排列也是偶排列。

最终结论

综合以上分析，我们得到简洁的判定条件：

$$\text{possible}⟺(N\mathrm{mod}2=0)\vee (\text{inversionCount}\mathrm{mod}2=0)$$

其中 $\text{inversionCount}$ 是初始排列的逆序数。

算法实现

时间复杂度

计算逆序数需要 $O(N^2)$ 时间，对于 $N\le 500$ 完全可行。

代码实现

// Lazy Susan
// UVa ID: 1620
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-28
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int main() {cin.tie(0), cout.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);int T; cin >> T;while (T--) {int marbleCount; cin >> marbleCount;vector<int> marbleSequence(marbleCount);// 读取弹珠序列for (int i = 0; i < marbleCount; ++i) cin >> marbleSequence[i];// 计算逆序数int inversionCount = 0;for (int i = 0; i < marbleCount; ++i)for (int j = i + 1; j < marbleCount; ++j)if (marbleSequence[i] > marbleSequence[j])inversionCount++;// 应用判定条件：N 为偶数或逆序数为偶数if (marbleCount % 2 == 0 || inversionCount % 2 == 0) cout << "possible\n";else cout << "impossible\n";}return 0;
}

总结

本题的关键在于理解操作对排列奇偶性的影响，通过数学分析得出简洁的判定条件。算法只需要计算一次逆序数，然后根据 $N$ 的奇偶性进行判断，实现简单且高效。