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BFS（广度优先搜索）算法和a*算法详解和对比

news 2025/10/29 7:40:08

算法概述

BFS（广度优先搜索）和A*（A-Star）这两种算法都是用于图或网格中寻找路径的经典算法，但它们的策略、效率和适用场景有很大不同。

1. BFS（广度优先搜索）算法介绍

基于JavaScript实现的 BFS（广度优先搜索）路径搜索算法代码实现：《基于JavaScript实现BFS（广度优先搜索）路径搜索算法代码，并通过动画动态展现BFS 的搜索过程》

核心思想

BFS的核心是“地毯式”层层推进的搜索。它从起点开始，优先访问所有相邻的节点，然后再访问这些相邻节点的相邻节点，以此类推，直到找到目标节点。

算法步骤

将起点放入一个队列（Queue）中，并标记为已访问。

从队列中取出最前面的节点（即最先进入的节点，FIFO原则），我们称之为“当前节点”。

检查这个“当前节点”是不是目标节点。如果是，搜索结束，回溯路径。

如果不是，就将这个“当前节点”的所有未被访问过的相邻节点放入队列的末尾，并标记为已访问，同时记录这些新节点是从哪个节点过来的（用于最后回溯路径）。

重复步骤2-4，直到队列为空（表示所有可达节点都已访问过）或找到目标。

特点

完备性：如果路径存在，BFS一定能找到。
最优性：在无权图（所有边的代价相同）中，BFS找到的路径一定是最短路径。
效率：它需要遍历所有从起点出发、路径长度小于等于目标路径的节点，因此在搜索空间大时非常耗时和耗内存。
“盲目”搜索：它没有方向性，只是机械地向四周扩散，不知道目标在哪。

可视化比喻

想象一滴墨水在清水中匀速向四面八方扩散。

2. A*（A-Star）算法

核心思想

A*算法是一种启发式搜索或智能搜索。它不像BFS那样盲目，而是会“有方向地”朝着目标进行搜索。它通过一个代价函数 F(n) 来决定下一步探索哪个节点最有希望。

关键概念

g(n)：从起点到当前节点 n 的实际代价。

h(n)：从当前节点 n 到目标点的预估代价。这个就是“启发函数”。A*算法的效率和质量很大程度上取决于h(n)的选择。

f(n)：节点的总预估代价，f(n) = g(n) + h(n)。

A*算法总是优先选择 f(n) 值最小的节点进行扩展，因为它认为这条路径最有可能是最短路径。

算法步骤

将起点放入一个优先队列（Priority Queue，通常是最小堆）中，其 f(start) = g(start) + h(start)。g(start) 通常为0。

从优先队列中取出 f(n) 值最小的节点，作为“当前节点”。
检查这个“当前节点”是不是目标节点。如果是，搜索结束，回溯路径。

如果不是，就将这个“当前节点”的所有可达的相邻节点进行如下处理：

计算相邻节点的 g 值（当前节点的g值 + 到相邻节点的移动代价）。

如果这个相邻节点是第一次被访问，或者我们找到了一条到达它的g值更小的新路径，那么就更新这个节点的g值，并计算其f值，然后将其（或更新其在优先队列中的位置）放入优先队列，同时记录它的父节点为当前节点。

重复步骤2-4，直到队列为空或找到目标。

特点

完备性：在大多数情况下，如果路径存在，A*也能找到。
最优性：只要启发函数 h(n) 是可采纳的，即 h(n) 永远不会高估从节点n到目标的实际代价，那么A*找到的路径就是最优的。常见的可采纳启发函数有曼哈顿距离（适用于只能上下左右移动的网格）和欧几里得距离。
高效性：相比于BFS，A*通过启发函数极大地减少了需要探索的节点数量，因此通常快得多。

“有信息”的搜索：它利用了对目标位置的信息来指导搜索方向。

可视化比喻

想象一个寻路者，他不仅知道自己走了多远（g(n)），还手里拿着一个指南针，能大致估算自己离终点还有多远（h(n)）。他总是选择“已走距离 + 估算剩余距离”最短的那个方向前进。

BFS（广度优先搜索算法）和a*算法有什么区别

广度优先搜索（BFS）和A*算法虽然都是非常常用的图搜索算法，但它们在目标、效率和应用场景上有显著区别。以下是它们的核心区别：

1. 搜索策略

BFS：盲目搜索：逐层扩展所有可能的节点，不考虑目标位置或路径代价。
按层遍历：先访问起点的所有邻居，再访问邻居的邻居，依此类推。
A*：启发式搜索：优先扩展“最有希望”的节点（通过代价函数
f(n)=g(n)+h(n) 判断）。

目标导向：倾向于向目标方向搜索，减少无用节点的扩展。

g(n): 从起点到当前节点的实际代价。
h(n): 启发式函数，估计当前节点到目标的代价（如曼哈顿距离、欧几里得距离）。

2. 完备性与最优性

BFS：完备：如果解存在，一定能找到（在有限图中）。
最优（仅限无权图）：在无权图中找到的路径是最短步数；但在带权图中可能非最优。
A*：完备：如果解存在且启发函数
h(n) 可容（admissible，即不高估实际代价），则一定能找到解。

最优：当 h(n) 可容且一致（consistent）时，A* 找到的路径是最优的。

3. 时间复杂度与空间复杂度

BFS：时间/空间复杂度：
O(bd)，其中 b 是分支因子，d 是解的深度。
需要存储所有已访问节点，内存消耗大（尤其是大规模图）。
A*：时间复杂度：取决于启发函数的质量。最优情况下可降至 O(d)，最差仍为 O(b d)。

空间复杂度：与BFS类似，但通过启发式剪枝可能减少部分节点扩展。

4. 适用场景

BFS：无权图的最短路径问题（如迷宫的最少步数）。
需要遍历所有可能状态的问题（如状态空间搜索）。

A*：带权图的最优路径问题（如地图导航、游戏AI）。
需要高效搜索的场景，尤其是当启发函数能有效估计代价时。

5. 启发式信息的使用

BFS：完全不使用启发式信息，完全依赖拓扑结构。

A*：依赖启发函数 h(n) 引导搜索方向，函数质量直接影响效率。

直观对比示例

假设要在网格地图中从起点 S 到目标 G：

BFS会像“涟漪扩散”一样均匀探索所有方向，直到碰到目标。

A*会优先探索靠近目标的路径（如绕过障碍物走直线），减少无用搜索。

总结

特性	BFS	A*
搜索策略	盲目、按层扩展	启发式、优先最优路径
最优性	仅无权图最短路径	带权图最优路径（需 h(n) 可容）
空间开销	高（存储所有节点）	类似BFS，但可能剪枝
适用场景	无权图、状态枚举	带权图、路径优化