「用Python来学微积分」17. 导数与导函数

导数不仅是微积分的核心概念，更是描述变化率的有力工具。本文将带你从几何直观和物理意义的角度，深入理解导数与导函数的概念体系。

一、函数在一点的导数：变化率的精确刻画

1.1 导数的定义与数学表达

导数的概念源于对瞬时变化率的精确描述。设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$（且 $x_0+\Delta x$ 仍在该邻域内），函数相应取得增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。

导数定义：如果极限 $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ 存在，则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称该极限值为函数在点 $x_0$ 处的导数，记作 $f^{\prime }(x_0)$，或 $\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}$ 或 $\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$。

1.2 导数的物理意义：从平均变化率到瞬时变化率

导数的本质是平均变化率在自变量增量趋于零时的极限，即瞬时变化率。这一概念在物理学中有广泛应用：

• 瞬时速度：物体位移 $s(t)$ 对时间 $t$ 的导数表示瞬时速度 $v(t)=s^{\prime }(t)$
• 瞬时加速度：速度 $v(t)$ 对时间 $t$ 的导数表示瞬时加速度 $a(t)=v^{\prime }(t)$
• 线密度：细杆质量 $m(l)$ 对长度 $l$ 的导数表示线密度 $\rho (l)=m^{\prime }(l)$

Python可视化：平均变化率趋近瞬时变化率

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npdef demonstrate_instantaneous_rate():"""演示平均变化率如何趋近瞬时变化率"""# 定义函数：f(x) = x^2f = lambda x: x**2x0 = 2exact_derivative = 4  # f'(x) = 2x, f'(2)=4# 不同的Δx值delta_x_values = [2.0, 1.0, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001]average_rates = []for dx in delta_x_values:average_rate = (f(x0 + dx) - f(x0)) / dxaverage_rates.append(average_rate)error = abs(average_rate - exact_derivative)print(f"Δx = {dx:.4f}, 平均变化率 = {average_rate:.4f}, 误差 = {error:.4f}")# 可视化plt.figure(figsize=(10, 6))plt.plot([1/dx for dx in delta_x_values], average_rates, 'bo-', label='平均变化率')plt.axhline(y=exact_derivative, color='r', linestyle='--', label=f'瞬时变化率 f\'({x0}) = {exact_derivative}')plt.xlabel('1/Δx (精度增加方向)')plt.ylabel('变化率')plt.title('平均变化率趋近瞬时变化率 (f(x) = x²)')plt.legend()plt.grid(True, alpha=0.3)plt.xscale('log')plt.show()demonstrate_instantaneous_rate()

运行结果:

二、函数在一点的单侧导数：处理特殊点的利器

2.1 单侧导数的定义

对于定义在闭区间或分段函数，我们需要引入单侧导数的概念：

• 右导数：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的右导数定义为 $$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
• 左导数：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的左导数定义为 $$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

其中 $\Delta x\to 0^{+}$ 表示 $\Delta x$ 从正方向趋于0，$\Delta x\to 0^{-}$ 表示 $\Delta x$ 从负方向趋于0。

2.2 可导的充要条件

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件是：左导数 $f_{-}^{\prime }(x_0)$ 和右导数 $f_{+}^{\prime }(x_0)$ 都存在且相等。

当左右导数存在但不相等时，函数在该点不可导，图像在该点会出现"尖点"。

2.3 典型应用：绝对值函数的可导性分析

经典例子：函数 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处的可导性

• 右导数：$f_{+}^{\prime }(0)={\lim }_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{|\Delta x|-0}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$
• 左导数：$f_{-}^{\prime }(0)={\lim }_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{|\Delta x|-0}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1$

由于左导数 $(-1)$ 不等于右导数 $(1)$，所以 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导。

Python可视化：绝对值函数的单侧导数

def demonstrate_one_sided_derivatives():"""演示单侧导数的几何意义"""x_left = np.linspace(-2, 0, 100)x_right = np.linspace(0, 2, 100)f = lambda x: np.abs(x)# 计算左右导数left_derivative = -1  # 左导数right_derivative = 1   # 右导数plt.figure(figsize=(12, 5))# 函数图像plt.subplot(1, 2, 1)plt.plot(x_left, f(x_left), 'b-', linewidth=2, label='f(x) = |x|')plt.plot(x_right, f(x_right), 'b-', linewidth=2)# 左右切线x_tangent_left = np.linspace(-1, 0, 50)left_tangent = left_derivative * x_tangent_leftplt.plot(x_tangent_left, left_tangent, 'r--', linewidth=2, label=f'左切线: 斜率 = {left_derivative}')x_tangent_right = np.linspace(0, 1, 50)right_tangent = right_derivative * x_tangent_rightplt.plot(x_tangent_right, right_tangent, 'g--', linewidth=2, label=f'右切线: 斜率 = {right_derivative}')plt.scatter([0], [0], color='red', s=100, zorder=5)plt.title('绝对值函数在x=0处的左右导数')plt.xlabel('x')plt.ylabel('f(x)')plt.legend()plt.grid(True, alpha=0.3)plt.axis([-2, 2, -0.5, 2])# 另一个例子：分段函数plt.subplot(1, 2, 2)x1 = np.linspace(-1, 1, 100)g = lambda x: np.piecewise(x, [x < 0, x >= 0], [lambda x: x**2, lambda x: x])plt.plot(x1, g(x1), 'purple', linewidth=2, label='分段函数')# 在x=0处的左右导数g_left_deriv = 0  # (x²)' = 2x, 在x=0处为0g_right_deriv = 1  # (x)' = 1x_left_tangent = np.linspace(-0.5, 0, 50)left_tangent_g = g_left_deriv * x_left_tangentplt.plot(x_left_tangent, left_tangent_g, 'r--', linewidth=2, label=f'左导数 = {g_left_deriv}')x_right_tangent = np.linspace(0, 0.5, 50)right_tangent_g = g_right_deriv * x_right_tangentplt.plot(x_right_tangent, right_tangent_g, 'g--', linewidth=2, label=f'右导数 = {g_right_deriv}')plt.scatter([0], [0], color='red', s=100, zorder=5)plt.title('分段函数在x=0处的可导性')plt.xlabel('x')plt.ylabel('g(x)')plt.legend()plt.grid(True, alpha=0.3)plt.tight_layout()plt.show()demonstrate_one_sided_derivatives()

运行结果:

三、导数的几何意义：切线与变化率的可视化理解

3.1 切线斜率的精确化

从几何角度看，导数 $f^{\prime }(x_0)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $P_0(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率。

割线到切线的演变过程：

1. 割线斜率：通过点 $P_0(x_0,f(x_0))$ 和 $P(x,f(x))$ 的割线斜率为 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
2. 切线定义：当 $x\to x_0$ 时，割线 $P_{0}P$ 趋近于一个极限位置，这个极限位置的直线称为曲线在点 $P_0$ 处的切线
3. 切线斜率：切线斜率即为割线斜率的极限值：$k={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$

3.2 切线方程与法线方程

知道切线斜率后，我们可以写出：

• 切线方程：$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
• 法线方程（与切线垂直的直线）：$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$（当 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$）

Python可视化：导数与切线关系

def demonstrate_tangent_line():"""演示导数的几何意义：切线斜率"""# 定义函数和点f = lambda x: np.sin(x) + 0.1*x**2x0 = 1.5derivative_at_x0 = np.cos(x0) + 0.2*x0  # f'(x) = cos(x) + 0.2xx = np.linspace(0, 3, 1000)y = f(x)plt.figure(figsize=(12, 5))# 主图：函数曲线和切线plt.subplot(1, 2, 1)plt.plot(x, y, 'b-', linewidth=2, label='f(x) = sin(x) + 0.1x²')plt.scatter([x0], [f(x0)], color='red', s=100, zorder=5)# 切线tangent_line = f(x0) + derivative_at_x0 * (x - x0)plt.plot(x, tangent_line, 'r--', linewidth=2, label=f'切线: 斜率 = {derivative_at_x0:.3f}')# 割线（不同Δx值）for dx in [1.0, 0.5, 0.2]:x1 = x0 + dxslope_secent = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0)secent_line = f(x0) + slope_secent * (x - x0)plt.plot(x, secent_line, ':', alpha=0.7, label=f'割线(Δx={dx}): 斜率 = {slope_secent:.3f}')plt.title('从割线到切线的演变过程')plt.xlabel('x')plt.ylabel('f(x)')plt.legend()plt.grid(True, alpha=0.3)# 局部放大图plt.subplot(1, 2, 2)x_zoom = np.linspace(x0-0.5, x0+0.5, 200)y_zoom = f(x_zoom)tangent_zoom = f(x0) + derivative_at_x0 * (x_zoom - x0)plt.plot(x_zoom, y_zoom, 'b-', linewidth=2, label='f(x)')plt.plot(x_zoom, tangent_zoom, 'r--', linewidth=2, label='切线')# 标记点和斜率plt.scatter([x0], [f(x0)], color='red', s=100, zorder=5)plt.annotate(f'点P({x0:.1f}, {f(x0):.2f})', (x0, f(x0)), xytext=(x0+0.1, f(x0)-0.2))plt.title('切线斜率的局部放大图')plt.xlabel('x')plt.ylabel('f(x)')plt.legend()plt.grid(True, alpha=0.3)plt.tight_layout()plt.show()demonstrate_tangent_line()

四、函数在一点可导与连续的关系

4.1 重要定理：可导必连续

这是一个微积分中的基本定理：如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，那么它在点 $x_0$ 处一定连续。

证明思路： 如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则极限 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 存在（设为 $f^{\prime }(x_0)$）。考虑： $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\cdot \Delta x=f^{\prime }(x_0)\cdot 0=0$$ 这说明 ${\lim }_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)$，即 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

4.2 逆命题不成立：连续不一定可导

关键点：连续只是可导的必要条件而非充分条件。存在许多函数在一点连续但不可导的例子：

1. 尖点例子：$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导（左右导数不相等）
2. 垂直切线例子：$f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处连续但导数无穷大
3. 振荡例子：某些病态函数可能处处连续但处处不可导

Python可视化：连续但不可导的函数

def demonstrate_continuous_but_not_differentiable():"""演示连续但不可导的函数例子"""x = np.linspace(-2, 2, 1000)plt.figure(figsize=(15, 5))# 例子1：绝对值函数（尖点）plt.subplot(1, 3, 1)y1 = np.abs(x)plt.plot(x, y1, 'b-', linewidth=2, label='f(x) = |x|')plt.scatter([0], [0], color='red', s=100)plt.title('尖点例子: 在x=0处连续但不可导')plt.xlabel('x')plt.ylabel('f(x)')plt.grid(True, alpha=0.3)# 例子2：立方根函数（垂直切线）plt.subplot(1, 3, 2)y2 = np.cbrt(x)plt.plot(x, y2, 'green', linewidth=2, label='f(x) = ∛x')plt.scatter([0], [0], color='red', s=100)plt.title('垂直切线例子: 在x=0处连续但不可导')plt.xlabel('x')plt.ylabel('f(x)')plt.grid(True, alpha=0.3)# 例子3：分段函数（跳跃导数）plt.subplot(1, 3, 3)y3 = np.piecewise(x, [x < 0, x >= 0], [lambda x: x**2, lambda x: x])plt.plot(x, y3, 'purple', linewidth=2, label='分段函数')plt.scatter([0], [0], color='red', s=100)plt.title('分段函数: 在x=0处连续但不可导')plt.xlabel('x')plt.ylabel('f(x)')plt.grid(True, alpha=0.3)plt.tight_layout()plt.show()demonstrate_continuous_but_not_differentiable()

五、知识总结与思维导图

核心概念关系

导数概念体系
├── 一点处的导数
│   ├── 定义：Δy/Δx当Δx→0的极限
│   ├── 物理意义：瞬时变化率
│   └── 单侧导数（左导数、右导数）
│       └── 可导充要条件：左导数=右导数
├── 几何意义
│   ├── 切线斜率
│   ├── 切线方程：y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀)
│   └── 法线方程
└── 可导与连续的关系├── 可导 ⇒ 连续（定理）└── 连续 ⇏ 可导（有反例）

🔍 思考题（评论区讨论）

1. 几何直观：如果一个函数在某点的切线是垂直的，该点是否可导？为什么？
2. 物理类比：瞬时速度为零的物体，其加速度是否一定为零？用导数概念解释。
3. 反例构造：你能构造一个在x=0处连续但不可导的函数吗？（除了绝对值函数）
4. 实际应用：在经济学中，边际成本是导数的概念吗？它反映了什么变化率？

💻 Python探索挑战

# 挑战1：绘制函数 f(x) = x*sin(1/x) 在x=0附近的行为，分析其在x=0处的连续性和可导性
# 挑战2：创建一个交互式可视化，让用户输入Δx值，观察平均变化率如何趋近瞬时变化率
# 挑战3：验证三次函数 f(x) = x³ 在所有点都可导，并解释为什么

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下节预告：在下一篇文章中，我们将学习微分的概念及其应用，包括微分的定义、几何意义、与导数的关系，以及微分在近似计算和误差估计中的实际应用。

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参考资料：

1. 同济大学《高等数学》第七版
2. 扈志明《微积分》教材

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