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数字信号处理——傅里叶变换

news 2025/10/27 11:12:46

傅里叶变换

概述

傅里叶变换将信号从时域转换为频域，用于分析频率成分、滤波和系统设计。家族成员根据信号的连续/离散和周期/非周期性质区分。主要成员包括：CTFS（连续时间傅里叶级数）、CTFT（连续时间傅里叶变换）、DTFS/DFS（离散时间傅里叶级数/离散傅里叶级数）、DTFT（离散时间傅里叶变换）、Z变换和DFT（离散傅里叶变换）。

核心联系：

连续到离散：CTFS/CTFT（模拟信号）→ DTFS/DTFT/Z/DFT（数字信号）。
周期到非周期：FS（级数形式，产生离散频谱）→ FT（变换形式，产生连续频谱）。
理论到实践：Z变换用于系统稳定性分析；DFT通过FFT算法实现快速计算。
历史背景：傅里叶于1807年提出，用于热传导问题，后扩展到信号处理。

比较表格

变换	全称	信号类型	目的	域	推导基础	与DFT联系	典型应用
CTFS	Continuous-Time Fourier Series	连续、周期	谐波分解	时域 → 离散频域	周期积分正交	模拟基础；DFT数字模拟	音频谐波分析
CTFT	Continuous-Time Fourier Transform	连续、非周期	连续谱分析	时域 → 连续频域	周期→∞极限	DFT采样近似	模拟滤波器设计
DTFS/DFS	Discrete-Time Fourier Series	离散、周期	数字谐波	离散时域 → 离散频域	离散求和正交	DFT = N点截断	数字振荡器
DTFT	Discrete-Time Fourier Transform	离散、非周期	数字连续谱	离散时域 → 连续频域	周期→∞极限	DFT = 其采样	谱估计
Z变换	Z-Transform	离散、因果	系统稳定性	离散时域 → Z平面	生成函数推广	DFT在单位圆采样	IIR滤波器
DFT	Discrete Fourier Transform	离散、有限周期	快速谱计算	有限离散时域 → 有限离散频域	DTFS有限版	FFT核心	图像压缩

表格扩展：添加“典型应用”列，突出实际场景。

CTFS：连续时间傅里叶级数

目的：将周期信号分解为基频及其整数倍谐波，便于谐波失真分析。
适用：连续时间t、周期T的x(t)，需满足狄利克雷条件（绝对积分收敛、有限不连续点）。

公式：

正变换（傅里叶系数）：
$c_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e^{-j k \omega_0 t} \, dt, \quad \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$
逆变换：
$\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{j k \omega_0 t}$

推导：

假设表示： $\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{j k \omega_0 t}$ （基于欧拉公式）。
正交性证明：基函数 $ejkω0te^{j k \omega_0 t}$ 在[-T/2, T/2]上正交， $∫−T/2T/2ej(k−m)ω0tdt=Tδkm\int_{-T/2}^{T/2} e^{j (k-m) \omega_0 t} dt = T \delta_{km}$ （几何积分）。
系数提取：乘以 $e−jmω0t/Te^{-j m \omega_0 t}/T$ 并积分，其他项为零，得 $c_m$ 。
能量守恒：Parseval定理 $1T∫−T/2T/2∣x(t)∣2dt=∑k=−∞∞∣ck∣2\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |c_k|^2$ 。

性质（扩展）：

线性： $x_1 + b x_2 \leftrightarrow a c_{1k} + b c_{2k}$ 。
时移： $t_0) \leftrightarrow c_k e^{-j k \omega_0 t_0}$ 。
频谱特性：离散δ函数谱，仅在 $\omega_0$ 处非零。
Gibbs现象：不连续点附近过冲约9%。

高级应用：电力系统谐波监测；在音乐合成中生成泛音。

CTFT：连续时间傅里叶变换

目的：非周期信号的连续频谱表示，支持卷积定理（时域卷积↔频域乘积）。
适用：连续非周期x(t)， $∫−∞∞∣x(t)∣dt<∞\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)| dt < \infty$ （L1收敛）。

公式：

正变换：
$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \, dt$
逆变换：
$\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{j \omega t} \, d\omega$

推导：

从CTFS极限：视x(t)为T→∞周期信号， $ck≈X(jωk)/Tc_k \approx X(j \omega_k) / T$ ， $Δω=2π/T→0\Delta \omega = 2\pi / T \to 0$ ， $ckΔω→X(jω)/2πc_k \Delta \omega \to X(j\omega) / 2\pi$ 。
逆变换连续化： $∑ckejkω0tΔω/2π→∫X(jω)ejωtdω/2π\sum c_k e^{j k \omega_0 t} \Delta \omega / 2\pi \to \int X(j\omega) e^{j \omega t} d\omega / 2\pi$ 。
δ梳卷积：周期谱=非周期谱与 $∑δ(ω−kω0)\sum \delta(\omega - k \omega_0)$ 卷积。
收敛：Dirichlet条件确保积分存在。

性质（扩展）：

时移： $t_0) \leftrightarrow X(j\omega) e^{-j \omega t_0}$ 。
频率缩放： $\leftrightarrow \frac{1}{|a|} X(j \omega / a)$ 。
卷积： $x1(t)∗x2(t)↔X1(jω)X2(jω)x_1(t) * x_2(t) \leftrightarrow X_1(j\omega) X_2(j\omega)$ 。
Parseval： $∫−∞∞∣x(t)∣2dt=12π∫−∞∞∣X(jω)∣2dω\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(j\omega)|^2 d\omega$ 。
对偶性： $X(jω)↔2πx(−ω)X(j\omega) \leftrightarrow 2\pi x(-\omega)$ 。

高级应用：光学衍射分析；在地震信号处理中提取频带。

DTFS/DFS：离散时间傅里叶级数

目的：离散周期序列的离散频谱表示，用于数字谐波分析。
适用：离散时间n、周期N的x[n]，n=0,1,…,N-1。

公式：

正变换（DFS，谱）：
$\sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j (2\pi k n / N)}$
逆变换（DTFS，信号）：
$\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j (2\pi k n / N)}$

推导：

采样起源：连续CTFS采样，采样间隔T_s，N T_s = T， $Ω0=2π/N\Omega_0 = 2\pi / N$ 。
离散正交： $∑n=0N−1ej(k−m)Ω0n=Nδkm\sum_{n=0}^{N-1} e^{j (k-m) \Omega_0 n} = N \delta_{km}$ （几何求和公式）。
系数求取：假设 $\sum X[k] e^{j k \Omega_0 n}$ ，乘 $e−jmΩ0ne^{-j m \Omega_0 n}$ 求和，得 $X [m]$ 。
矩阵形式：DFT矩阵W_{kn} = e^{-j 2\pi k n / N}$，正交W^H W = N I。

性质（扩展）：

循环移位： $n_0)_N] \leftrightarrow X[k] e^{-j 2\pi k n_0 / N}$ 。
循环卷积： $x1⊛x2↔X1[k]X2[k]x_1 \circledast x_2 \leftrightarrow X_1[k] X_2[k]$ 。
Parseval： $∑∣x[n]∣2=1N∑∣X[k]∣2\sum |x[n]|^2 = \frac{1}{N} \sum |X[k]|^2$ 。
周期性：X[k]周期N。

高级应用：数字音频循环缓冲；在VLSI设计中周期信号模拟。

DTFT：离散时间傅里叶变换

目的：离散非周期序列的连续频谱，用于数字滤波和谱密度估计。
适用：离散非周期x[n]， $∑n=−∞∞∣x[n]∣<∞\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]| < \infty$ 。

公式：

正变换：
$X(e^{j\Omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \Omega n}$
逆变换：
$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\Omega}) e^{j \Omega n} \, d\Omega$

推导：

从DTFS极限：N→∞，X[k] → X(e^{j \Omega_k}) \cdot (2\pi / N) $，$ \Omega_k = 2\pi k / N$。
正交积分：基 $ejΩne^{j \Omega n}$ 在[-\pi, \pi]上， $12π∫−ππej(Ω−Ω′)ndΩ=δ(n)\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{j (\Omega - \Omega') n} d\Omega = \delta(n)$ （sinc极限）。
采样关系：DTFT与CTFT： $X(ejΩ)=1Ts∑m=−∞∞Xc(j(Ω+2πm)/Ts)X(e^{j\Omega}) = \frac{1}{T_s} \sum_{m=-\infty}^{\infty} X_c(j (\Omega + 2\pi m)/T_s)$ （阿里亚斯效应）。
收敛：绝对求和确保单位圆上收敛。

性质（扩展）：

时移： $n_0] \leftrightarrow X(e^{j\Omega}) e^{-j \Omega n_0}$ 。
卷积： $x1∗x2↔X1(ejΩ)X2(ejΩ)x_1 * x_2 \leftrightarrow X_1(e^{j\Omega}) X_2(e^{j\Omega})$ 。
周期性：X(e^{j(\Omega + 2\pi)}) = X(e^{j\Omega})。
希尔伯特变换：用于包络检测。

高级应用：Welch功率谱密度估计；在无线通信中信道均衡。

Z变换

目的：离散因果序列的复域表示，用于差分方程求解和滤波器设计。
适用：单边x[n] (n ≥ 0)，双边形式类似。

公式：

正变换：
$\sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$
逆变换（轮廓积分）：
$\frac{1}{2\pi j} \oint_C X(z) z^{n-1} dz$ （C在ROC内）。

推导：

DTFT特例：DTFT = X(z)|_{z = e^{j\Omega}}$（单位圆）。
复推广：z = r e^{j\Omega}，ROC为|a| < |z| < |b|（收敛环）。
逆变换：Laurent级数展开，系数x[n]由Cauchy积分定理提取。
部分分式：实际反变换用极点残数：x[n] = ∑ 残数(z_p^{n} / (n-1)!) u[n]。

性质（扩展）：

时移：x[n - k] ↔ z^{-k} X(z) + ∑_{m=0}^{k-1} x[m-k] z^{-(n-m)}$（单边）。
卷积：x_1 * x_2 ↔ X_1(z) X_2(z)。
ROC特性：右边ROC → 因果；左边 → 反因果。
稳定性：系统H(z)稳定 iff 单位圆在ROC内，且极点| z | < 1。

高级应用：ARMA模型参数估计；在自适应滤波如LMS算法。

DFT：离散傅里叶变换

目的：有限离散序列的频谱计算，支持FFT加速。
适用：长度N的x[n]，视为周期N。

公式：

正变换：
$\sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2\pi k n / N}, \quad k=0,\dots,N-1$
逆变换：
$\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2\pi k n / N}$

推导：

DTFS特例：直接从DTFS N点截断。
正交矩阵：DFT = W x，W_{kn} = e^{-j 2\pi k n / N}$，W^H W = N I。
FFT算法：Cooley-Tukey分治（N=2^M），分解为偶/奇索引，递归O(N log N)。
泄漏分析：有限N导致窗函数卷积，sinc旁瓣。

性质（扩展）：

线性：DFT(a x + b y) = a X + b Y。
移位：循环移位引入相移。
零填充：增加N改善频率分辨率。
窗函数：Hamming窗减泄漏：w[n] = 0.54 - 0.46 cos(2π n / (N-1))。

高级应用：JPEG DCT变体；在雷达脉冲压缩。

联系总结

数学链条：CTFS (积分正交) → CTFT (T→∞) → DTFT (采样+求和) → Z (z=e^{jΩ}特例) → DFT (N点采样DTFT)。
谱类型：FS: 离散线谱；FT: 连续密度谱；DFT: 有限离散采样。
收敛域：DTFT单位圆；Z变换ROC环；DFT全平面（多项式）。
应用演化：模拟(CT) → 数字理论(DT/Z) → 计算(DFT/FFT)。
常见错误：忽略ROC导致不稳定；DFT零序误差用窗修正。