算法基础篇（9）倍增与离散化

一、倍增思想

倍增，顾名思义就是翻倍。它能够使线性的处理转化为对数级的处理，极大地优化了时间复杂度。

1.1 【模板】快速幂

注：如果计算过程中存在除法时，取模会造成结果错误，这时候就需要"求逆元"，关于如何求逆元，在后续章节中会有所讲解。

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
using namespace std;typedef long long LL;LL a, b, p;// 快速幂的模板
LL qpow(LL a, LL b, LL p)
{LL ret = 1;while (b){if (b & 1)ret = ret * a % p;a = a * a % p;b >>= 1;}return ret;
}int main()
{cin >> a >> b >> p;printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", a, b, p, qpow(a, b, p));return 0;
}

1.2 【练习】64位整数乘法

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
using namespace std;typedef long long LL;LL a, b, p;// 快速乘的模板
LL qmul(LL a, LL b, LL p)
{LL sum = 0;while (b){if (b & 1)sum = (sum + a) % p;a = (a + a) % p;b >>= 1;}return sum;
}int main()
{cin >> a >> b >> p;cout << qmul(a, b, p) << endl;return 0;
}

二、离散化

当题目中数据范围很大，但是数据总量不是很大。此时如果需要用数据的值来映射数组的下标时，就可以用离散化的思想预处理一下所有的数据，使得每一个数据都映射成一个较小的值，之后再用离散化之后的数去处理问题。

【离散化模板1】排序+去重+二分查找离散化之后的结果

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;int n;
int a[N];int pos; //标记去重之后的元素个数
int disc[N]; //帮助离散化//二分x的位置
int find(int x)
{int l = 1, r = pos;while (l < r){int mid = (l + r) / 2;if (disc[mid] >= x)r = mid;elsel = mid + 1;}return l;
}int main()
{cin >> n;for (int i = 1;i <= n;i++){cin >> a[i];disc[++pos] = a[i];}//离散化sort(disc + 1, disc + 1 + pos); //排序pos = unique(disc + 1, disc + 1 + pos) - (disc + 1); //去重for (int i = 1;i <= n;i++){cout << a[i] << "离散化之后:" << find(a[i]) << endl;}return 0;
}

【离散化模板2】排序+哈希表去重以及记录最终位置

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;int n;
int a[N];int pos;
int disc[N];
unordered_map<int, int> id; //<原始值, 离散之后的值>int main()
{cin >> n;for (int i = 1;i <= n;i++){cin >> a[i];disc[++pos] = a[i];}//离散化sort(disc + 1, disc + 1 + pos); //排序int cnt = 1; //当前这个值是第几号元素for (int i = 1;i <= pos;i++){int x = disc[i];if (id.count(x))continue;id[x] = cnt;cnt++;}for (int i = 1;i <= n;i++){cout << a[i] << "离散化之后的值:" << id[a[i]] << endl;}return 0;
}

【练习1】火烧赤壁

如果不看数据范围的话，这道题就是一道典型的差分问题。对着火区间内的所有元素统一加上1，处理完差分数组之后还原原数组，原数组中大于0的区间就是所有的着火区间。但是，最大的问题就是题目的数据范围太大，是创建不出来我们所需要的差分数组的。所以这道题要先进行离散化之后，再差分。

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;const int N = 2e4 + 10;int n;
int a[N], b[N];int pos;
int disc[2 * N];unordered_map<int, int> id;int f[N * 2]; //差分数组int main()
{cin >> n;for (int i = 1;i <= n;i++){cin >> a[i] >> b[i];disc[++pos] = a[i];disc[++pos] = b[i];}//离散化sort(disc + 1, disc + 1 + pos);pos = unique(disc + 1, disc + 1 + pos) - (disc + 1);for (int i = 1;i <= pos;i++){int x = disc[i];id[x] = i;}//离散化的基础上做差分for (int i = 1;i <= n;i++){// a[i]~b[i]int l = id[a[i]];int r = id[b[i]];f[l] += 1;f[r] -= 1;}//还原数组for (int i = 1;i <= pos;i++){f[i] = f[i - 1] + f[i];}//统计结果int ret = 0;for (int i = 1;i <= pos;i++){int j = i;while (j <= pos && f[j] > 0)j++;//i ~ jret += disc[j] - disc[i];i = j;}cout << ret << endl;return 0;
}

【练习2】贴海报

这道题的解法很简单，就是模拟整个流程，然后看数组中有多少种不同的数即可。但是和上道题一样，数据范围很大，但是数据个数较少，所以要先离散化，再进行模拟。

但是直接这样做又会导致一个问题，我们在离散化时，会把有的区间缩小，此时在做区间覆盖问题的时候，会把缩小的区间完全覆盖掉，这样可能会导致计算出的结果不对。该如何解决这个问题呢？我们需要在离散化[x, y]的时候，把x+1 和 y+1 这两个数也离散化进去。

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;const int N = 1010;int n, m;
int a[N], b[N];int pos;
int disc[N * 4];unordered_map<int, int> id;int w[N * 4]; //海报墙
bool st[N * 4]; //标记哪些数字已经出现过int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1;i <= m;i++){cin >> a[i] >> b[i];disc[++pos] = a[i];disc[++pos] = a[i] + 1;disc[++pos] = b[i];disc[++pos] = b[i] + 1;}//离散化sort(disc + 1, disc + 1 + pos);int cnt = 0;for (int i = 1;i <= pos;i++){int x = disc[i];if (id.count(x))continue;++cnt;id[x] = cnt;}//在离散化的基础上,模拟贴海报的过程for (int i = 1;i <= m;i++){for (int j = id[a[i]];j <= id[b[i]];j++){w[j] = i;}}//统计结果——数组中有多少个不同的数int ret = 0;for (int i = 1;i <= cnt;i++){int x = w[i];if (x == 0 || st[x])continue;ret++;st[x] = true;}cout << ret << endl;return 0;
}