当前位置：首页 > news >正文

LeetCode算法日记 - Day 83: 乘积最大的子数组

news 2025/10/26 9:16:59

1. 乘积最大的子数组

1.1 题目解析

1.2 解法

1.3 代码实现

1. 乘积最大的子数组

https://leetcode.cn/problems/maximum-product-subarray/description/

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

测试用例的答案是一个 32-位 整数。

请注意，一个只包含一个元素的数组的乘积是这个元素的值。

示例 1:

输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

示例 2:

输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

提示:

1 <= nums.length <= 2 * 104
-10 <= nums[i] <= 10
nums 的任何子数组的乘积都保证是一个 32-位 整数

1.1 题目解析

题目本质
这是一个"动态连续子数组最值"问题，核心是在所有可能的连续子数组中，找出乘积最大的那一个。关键词是"连续"和"乘积最大"。

常规解法
最直观的想法是枚举所有可能的连续子数组：双层循环遍历所有起点和终点，计算每个子数组的乘积，记录最大值。

class Solution {public int maxProduct(int[] nums) {int n = nums.length;int maxProduct = nums[0];  // 至少包含一个元素，初始化为第一个元素// 外层循环：枚举子数组起点for (int i = 0; i < n; i++) {int product = 1;  // 当前子数组的乘积// 内层循环：枚举子数组终点for (int j = i; j < n; j++) {product *= nums[j];  // 累乘当前元素maxProduct = Math.max(maxProduct, product);  // 更新最大值}}return maxProduct;}
}

问题分析
暴力枚举的时间复杂度是 O(n³)（双层循环 + 乘积计算），或优化后 O(n²)。对于 n = 2×10⁴ 的数据规模，这会超时。我们需要 O(n) 的解法。

思路转折
乘法和加法不同的关键点：

加法中，最大子数组和只需关注"要不要继续累加"

乘法中，负数×负数=正数，这意味着当前的最小值（负数）可能在下一步变成最大值

因此传统的单一 DP 状态不够用了。要想高效求解 → 必须同时追踪"最大值"和"最小值" → 引入双状态动态规划。

当遇到负数时，最小值可能翻盘成最大值；当遇到正数时，最大值继续扩大。这样才能捕获所有可能的最大乘积。

1.2 解法

解法

算法思想

使用动态规划，维护两个状态数组：

max[i]：以 nums[i-1] 结尾的子数组的最大乘积

min[i]：以 nums[i-1] 结尾的子数组的最小乘积

状态转移方程：

max[i] = max(nums[i-1], nums[i-1] × max[i-1], nums[i-1] × min[i-1])min[i] = min(nums[i-1], nums[i-1] × max[i-1], nums[i-1] × min[i-1])result = max(result, max[i])

i）创建大小为 n+1 的

ii）初始化 max[0] = min[0] = 1，作为虚拟起点，方便处理第一个元素

iii）初始化 result = Integer.MIN_VALUE，记录全局最大值

iv）从 i=1 遍历到 i=n，对每个位置：

计算 max[i]：从三个候选值中取最大（单独取当前元素、继承上一个最大值、继承上一个最小值）

计算 min[i]：从三个候选值中取最小（单独取当前元素、继承上一个最大值、继承上一个最小值）

用 max[i] 更新全局最大值 result

v）返回 (int)result

易错点

只维护最大值：会漏掉"最小负数×负数=最大正数"的情况，例如 [-2, -3] 应该返回 6，但只维护最大值会返回 -2

result 每次被覆盖：如果写成 result = Math.max(max[i], min[i])，每次循环都会覆盖 result，丢失历史最大值。必须写成 result = Math.max(result, max[i]) 来累积保存所有位置中的最大值

1.3 代码实现

class Solution {public int maxProduct(int[] nums) {int n = nums.length;long[] max = new long[n+1];long[] min = new long[n+1];max[0] = min[0] = 1;long result = Integer.MIN_VALUE;for(int i = 1; i <= n; i++){max[i] = Math.max(nums[i-1], Math.max(nums[i-1]*max[i-1], nums[i-1]*min[i-1]));min[i] = Math.min(nums[i-1], Math.min(nums[i-1]*max[i-1], nums[i-1]*min[i-1]));result = Math.max(result, max[i]);} return (int)result;}
}

复杂度分析