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UVa 11183 Teen Girl Squad

news 2025/10/25 14:40:08

题目分析

问题描述

我们有一个包含 $n$ 个女孩的社交网络，编号从 $0$ 到 $n - 1$ ，其中 $0$ 号女孩是消息的起点。女孩之间可以通过有向的电话呼叫传播消息，每个呼叫 $(u, v, w)$ 表示 $u$ 可以打电话给 $v$ ，费用为 $w$ 分。

目标：从 $0$ 号女孩出发，通过一系列电话呼叫让所有女孩都听到消息，并且总费用最小。

约束：

如果无法让所有女孩都收到消息，输出 $Possums!\texttt{Possums!}$
输入规模： $\leq 1000$ ， $\leq 40000$

问题本质

这是一个典型的有向图最小生成树问题，更准确地说，是最小树形图（ $Arborescence\texttt{Minimum Spanning Arborescence}$ ）问题：

有向性：电话呼叫是单向的
根节点固定：必须从 $0$ 号女孩开始
连通性要求：必须到达所有节点

算法选择

对于有向图的最小生成树问题，常用的算法是朱-刘算法（ $algorithm\texttt{Chu–Liu/Edmonds' algorithm}$ ），该算法专门解决有向图中从固定根节点出发的最小树形图问题。

朱-刘算法详解

算法步骤

寻找最小入边：对于每个非根节点，选择权值最小的入边
检测环：检查这些边是否形成环
- 如果无环，则已找到最小树形图，算法结束
- 如果有环，继续步骤3
缩环：将环收缩为一个超级节点，更新相关边的权值
重复过程：在收缩后的图上重复上述步骤

算法复杂度

时间复杂度： $\times m)$
空间复杂度： $O (n + m)$

关键点说明

入边选择：每个非根节点必须至少有一条入边，否则无解
权值更新：缩环时，指向环内节点的边权值需要减去环内该节点入边的权值
解的存在性：如果某个非根节点没有入边，则无法形成树形图

代码实现

// Teen Girl Squad
// UVa ID: 11183
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-24
// UVa Run Time: 0.030s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAX_NODE = 1005;struct PhoneCall {int caller;  // 呼叫者int receiver; // 接收者  int cost;    // 呼叫费用
};int parentNode[MAX_NODE];    // 记录每个节点的前驱节点
int nodeId[MAX_NODE];        // 节点在新图中的编号
int visited[MAX_NODE];       // 访问标记数组
int minIncomingCost[MAX_NODE]; // 每个节点的最小入边费用/*** 朱-刘算法求解有向图最小树形图* @param rootNode 根节点编号* @param nodeCount 节点总数* @param callRecords 电话呼叫记录列表* @return 最小总费用，无解返回-1*/
int findMinCallCost(int rootNode, int nodeCount, vector<PhoneCall>& callRecords) {int totalCost = 0;int callCount = callRecords.size();while (true) {// 步骤1：为每个节点寻找最小入边fill(minIncomingCost, minIncomingCost + nodeCount, INF);for (int i = 0; i < callCount; i++) {int caller = callRecords[i].caller;int receiver = callRecords[i].receiver;if (caller != receiver && callRecords[i].cost < minIncomingCost[receiver]) {parentNode[receiver] = caller;minIncomingCost[receiver] = callRecords[i].cost;}}// 检查非根节点是否都有入边for (int i = 0; i < nodeCount; i++) {if (i != rootNode && minIncomingCost[i] == INF) {return -1; // 存在节点不可达，无解}}// 步骤2：检测环int newIdCount = 0;fill(nodeId, nodeId + nodeCount, -1);fill(visited, visited + nodeCount, -1);minIncomingCost[rootNode] = 0; // 根节点无入边for (int i = 0; i < nodeCount; i++) {totalCost += minIncomingCost[i];int currentNode = i;// 沿着前驱链寻找环while (visited[currentNode] != i && nodeId[currentNode] == -1 && currentNode != rootNode) {visited[currentNode] = i;currentNode = parentNode[currentNode];}// 找到新环，进行标记if (currentNode != rootNode && nodeId[currentNode] == -1) {for (int node = parentNode[currentNode]; node != currentNode; node = parentNode[node]) {nodeId[node] = newIdCount;}nodeId[currentNode] = newIdCount++;}}if (newIdCount == 0) break; // 无环，算法结束// 为不在环中的节点分配新编号for (int i = 0; i < nodeCount; i++) {if (nodeId[i] == -1) {nodeId[i] = newIdCount++;}}// 步骤3：缩环，更新边权for (int i = 0; i < callCount; i++) {int originalCaller = callRecords[i].caller;int originalReceiver = callRecords[i].receiver;callRecords[i].caller = nodeId[originalCaller];callRecords[i].receiver = nodeId[originalReceiver];if (callRecords[i].caller != callRecords[i].receiver) {callRecords[i].cost -= minIncomingCost[originalReceiver];}}nodeCount = newIdCount;rootNode = nodeId[rootNode];}return totalCost;
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int testCaseCount;cin >> testCaseCount;for (int caseIndex = 1; caseIndex <= testCaseCount; caseIndex++) {int girlCount, callCount;cin >> girlCount >> callCount;vector<PhoneCall> callRecords(callCount);for (int i = 0; i < callCount; i++) {cin >> callRecords[i].caller >> callRecords[i].receiver >> callRecords[i].cost;}int minCost = findMinCallCost(0, girlCount, callRecords);cout << "Case #" << caseIndex << ": ";if (minCost == -1) {cout << "Possums!\n";} else {cout << minCost << "\n";}}return 0;
}