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1. 题意

给你一个满足下述两条属性的 m x n 整数矩阵：

• 每行中的整数从左到右按非严格递增顺序排列。

• 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。

给你一个整数 target ，如果 target 在矩阵中，返回 true ；

否则，返回 false 。

2. 题解

2.1 暴力

逐个判断即可;

时间复杂度$O(mn)$

class Solution {
public:bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {for (auto &M: matrix) {for (auto v: M) {if( v == target)return true;}}return false;}
};

2.2 逐行二分

由于一行的数是有序的，因此可以不用完全遍历。

而且二分查找target。

时间复杂度$O(m\log n)$

class Solution {
public:bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {int m = matrix.size();if (0 == m)return false;for (int i = 0;i < m; ++i) {auto it = lower_bound( matrix[i].begin(), matrix[i].end(), target);if ( it != matrix[i].end() && *it == target)return true;}return false;}
};

2.3 整体二分

由于$r$行的最后一个元素是小于$r+1$行的第一个元素。

我们可以将这个二维数组给看成一个有序的一维数组。

用下标$k$表示原来数组$matrix[k/n][k\%n]$这个元素，

在$[0,mn)$这个新下标间进行二分。

时间复杂度$O(\log mn)=O(\log m+\log n)$

class Solution {
public:bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {int m = matrix.size();if (0 == m)return false;int n = matrix[0].size();int l = 0;int r = m * n - 1;while ( l <= r) {int mid = ((r - l) >> 1) + l;int v = matrix[mid / n][mid % n];if ( v == target)return true;if ( v > target)r = mid - 1;else l = mid + 1;}return false;}
};

2.4 两次二分

我们可以二分查找最后一列，找到第一个不小于$target$所在的行。

在对行进行二分，查找最终的$target$值。

时间复杂度$O(\log m+\log n)$

class Solution {
public:bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {int m = matrix.size();if (0 == m)return false;int n = matrix[0].size();int l;int r;l = 0;r = m;// log mwhile ( l < r) {int mid = ((r - l) >> 1) + l;int v = matrix[mid][n - 1];if ( v == target)return true;if ( v > target)r = mid;elsel = mid + 1;}if ( r >= m )return false;int rows = r;//cout << rows << endl;l = 0;r = n;while ( l < r) {int mid = ((r - l) >> 1) + l;//cout << mid << ": " << matrix[rows][mid] << endl;int v = matrix[rows][mid];if ( v == target)return true;if ( v < target)l = mid + 1;else r = mid;}return false;}
};

2.5 二叉搜索树

这个想法来自三叶姐，宫水三叶。

把这样的二维数组想看成以右上角为根节点的二叉搜索树。

当前节点的左边节点必然小于当前节点，

当前节点的下边节点必然大于当前节点。

我们从根开始，如果当前节点大于target，就向左走；

如果当前节点小于target，就向下走。

重复上面的过程，直到超过边界或者找到target。

时间复杂度$O(m+n)$

class Solution {
public:bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {int m = matrix.size();if (0 == m)return false;int n = matrix[0].size();int x = 0;int y = n - 1;while (x < m && y >= 0) {int v = matrix[x][y];if (v == target)return true;if ( v > target)y--;else x++;}return false;}
};

参考

三叶
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