【机器学习】贝叶斯算法原理与应用

一、原理介绍

1. 条件概率（Conditional Probability）

条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。记作 $P(A|B)$，公式为：
$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
其中：

• $P(A\cap B)$ 是事件A和B同时发生的联合概率。
• $P(B)$ 是事件B发生的概率。

示例：假设有一个扑克牌堆（52张），事件A是“抽到一张A”，事件B是“抽到一张红桃”。那么：

• $P(A)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$（有4张A）
• $P(B)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$（有13张红桃）
• $P(A\cap B)=\frac{1}{52}$（只有一张红桃A）
• 在已知抽到红桃的条件下，抽到A的概率为：$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/52}{1/4}=\frac{1}{13}$

2. 联合概率（Joint Probability）

联合概率是指两个或多个事件同时发生的概率。记作 $P(A\cap B)$ 或 $P(A,B)$。如果事件A和B是独立的，则 $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$。但如果不独立，则联合概率需要根据条件概率计算：
$$P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)=P(B|A)\cdot P(A)$$

示例：抛掷一枚公平的硬币两次，事件A是“第一次正面朝上”，事件B是“第二次正面朝上”。由于两次抛掷独立，联合概率 $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。

3. 贝叶斯定理（贝叶斯公式）

贝叶斯定理是基于条件概率的公式，用于在已知先验知识的情况下更新事件的概率。公式为：
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$$
其中：

• $P(A|B)$ 是后验概率（posterior probability），即在观察到事件B后事件A发生的概率。
• $P(B|A)$ 是似然概率（likelihood），即在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
• $P(A)$ 是先验概率（prior probability），即在观察事件B前事件A发生的概率。
• $P(B)$ 是证据概率（evidence），即事件B发生的总概率，通常通过全概率公式计算：$P(B)={\sum }_{i}P(B|A_i)P(A_i)$，其中 $A_i$ 是互斥且完备的事件。

示例：医学测试中，假设一种疾病的患病率（先验概率）为 $P(\text{病})=0.01$，测试的灵敏度（似然概率）为 $P(\text{阳性}|\text{病})=0.99$，测试的误报率为 $P(\text{阳性}|\text{健康})=0.05$。那么，如果一个人测试阳性，实际患病的后验概率为：
$$P(\text{病}|\text{阳性})=\frac{P(\text{阳性}|\text{病})\cdot P(\text{病})}{P(\text{阳性})}$$
其中 $P(\text{阳性})=P(\text{阳性}|\text{病})\cdot P(\text{病})+P(\text{阳性}|\text{健康})\cdot P(\text{健康})=0.99\times 0.01+0.05\times 0.99=0.0594$
所以：
$$P(\text{病}|\text{阳性})=\frac{0.99\times 0.01}{0.0594}\approx 0.1667$$
即只有约16.67%的概率实际患病，尽管测试灵敏度很高。

4. 朴素贝叶斯（Naive Bayes）

朴素贝叶斯是一种基于贝叶斯定理的分类算法，常用于文本分类、垃圾邮件检测等。它被称为“朴素”是因为它假设特征之间是条件独立的（即给定类别下，每个特征相互独立）。对于特征向量 $X=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 和类别 $C$，后验概率为：
$$P(C|X)=\frac{P(X|C)\cdot P(C)}{P(X)}$$
由于特征条件独立，$P(X|C)$ 可分解为：
$$P(X|C)=P(x_1|C)\cdot P(x_2|C)\cdot \dots \cdot P(x_n|C)$$
因此：
$$P(C|X)\propto P(C)\prod _{i=1}^{n}P(x_i|C)$$
在分类时，我们选择使 $P(C){\prod }_{i=1}^{n}P(x_i|C)$ 最大的类别 $C$。

示例：垃圾邮件分类。假设我们有两个类别：垃圾邮件（Spam）和非垃圾邮件（Ham）。特征包括单词“免费”和“金钱”。给定一封邮件，我们计算：

• $P(\text{Spam})$ 和 $P(\text{Ham})$（先验概率）。
• $P(\text{免费}|\text{Spam})$、$P(\text{免费}|\text{Ham})$ 等（条件概率）。
  然后对于新邮件，根据出现的单词计算后验概率，并选择概率较高的类别。

5. 拉普拉斯平滑系数（Laplace Smoothing）

在朴素贝叶斯中，如果某个特征值在训练数据中没有出现在某个类别中，则 $P(x_i|C)=0$，这会导致整个后验概率为零。拉普拉斯平滑通过添加一个常数来解决这个问题，确保没有概率为零。对于离散特征，条件概率的计算变为：
$$P(x_i|C)=\frac{\text{count}(x_i,C)+\alpha }{\text{count}(C)+\alpha \cdot n}$$
其中：

• $\text{count}(x_i,C)$ 是类别 $C$ 中特征 $x_i$ 出现的次数。
• $\text{count}(C)$ 是类别 $C$ 中所有特征出现的总次数（或实例数）。
• $\alpha$ 是平滑参数（通常设为1，即拉普拉斯平滑）。
• $n$ 是特征 $x_i$ 可能取值的数量（即特征的空间大小）。

示例：在文本分类中，假设单词“彩票”在垃圾邮件中出现0次，而垃圾邮件总词数为1000，单词表大小 $n=5000$。使用拉普拉斯平滑（$\alpha =1$）：
$$P(\text{彩票}|\text{Spam})=\frac{0+1}{1000+1\times 5000}=\frac{1}{6000}\approx 0.000167$$
这样，即使“彩票”没有出现，概率也不为零，避免了零概率问题。

二、应用案例（垃圾邮件识别）

待更新。。。