ZVD振动抑制方法原理介绍
ZVD（Zero Vibration and Derivative）振动抑制方法是一种用于抑制机械系统中残余振动的输入整形（Input Shaping）技术。它通过设计一系列具有特定时序和幅值的脉冲序列来塑造系统的输入指令，从而在指令完成时有效消除系统的自由振动。
基本原理
许多机械系统（如机器人臂、精密定位平台、起重机等）可以近似为二阶欠阻尼系统，其运动方程为：
ẍ(t) + 2ζωₙẋ(t) + ωₙ²x(t) = Ku(t)
其中：
- x(t) 是系统输出（如位移）
- u(t) 是输入指令
- ωₙ 是系统的固有频率
- ζ 是阻尼比
- K 是系统增益
当系统受到阶跃输入时，由于惯性与弹性，会产生振荡。ZVD方法的核心思想是：将一个阶跃输入分解为多个按特定时间间隔施加的脉冲（或称为“冲量”），这些脉冲的叠加效应使得在最后一个脉冲施加后，系统达到目标位置的同时，其速度和加速度（即振动的导数）也为零，从而完全抑制了后续的自由振动。
ZVD整形器的结构
一个典型的ZVD整形器由三个脉冲组成：
- 第一个脉冲：幅值为 A₁，在时间 t = 0 施加。
- 第二个脉冲：幅值为 A₂，在时间 t = t₂ 施加。
- 第三个脉冲：幅值为 A₃，在时间 t = t₃ 施加。
设计公式
ZVD整形器的设计基于系统模型（ωₙ, ζ），其脉冲幅值和时间间隔由以下公式确定：
脉冲时间间隔： t₂ = π / (ωₙ√(1 - ζ²))
t₃ = 2π / (ωₙ√(1 - ζ²))脉冲幅值： A₁ = 1 / (1 + e^(ζωₙt₂) + e^(ζωₙt₃))
A₂ = e^(ζωₙt₂) / (1 + e^(ζωₙt₂) + e^(ζωₙt₃))
A₃ = e^(ζωₙt₃) / (1 + e^(ζωₙt₂) + e^(ζωₙt₃))
或者，更常见的表达形式是使用阻尼振荡频率 ω_d = ωₙ√(1 - ζ²)：
令 ω_d = ωₙ√(1 - ζ²)，则：
- t₂ = π / ω_d
- t₃ = 2π / ω_d
幅值计算中引入衰减因子：
- A₁ = 1 / (1 + e^(ζωₙπ/ω_d) + e^(ζωₙ2π/ω_d))
- A₂ = e^(ζωₙπ/ω_d) / (1 + e^(ζωₙπ/ω_d) + e^(ζωₙ2π/ω_d))
- A₃ = e^(ζωₙ2π/ω_d) / (1 + e^(ζωₙπ/ω_d) + e^(ζωₙ2π/ω_d))
为什么能抑制振动？
ZVD方法之所以能同时消除位置和速度的残余振动，是因为它满足了两个条件：
- 零振动（ZV）条件：确保在最后一个脉冲施加后，系统的稳态位置达到目标值，且自由振动项为零。
- 零导数（D）条件：确保在最后一个脉冲施加后，系统的速度也为零。
通过同时满足这两个条件，ZVD整形器对系统参数（如 ωₙ, ζ）的小范围变化具有更强的鲁棒性，相比简单的ZV（Zero Vibration）整形器，能更有效地抑制实际系统中的残余振动。
应用
ZVD方法广泛应用于需要快速、精确定位且无残余振动的场合，例如：
- 工业机器人
- 精密机床
- 半导体制造设备
- 航天器姿态调整
注意事项
- ZVD方法会引入一定的延迟（等于最后一个脉冲的时间 t₃），因此会降低系统的响应速度。
- 它对系统模型的准确性有一定依赖，若实际系统参数与设计值偏差较大，抑制效果会下降。为此，发展出了更鲁棒的ZVDD、EI等整形器。