非视距城市合成孔径雷达中的多径利用——论文阅读

非视距城市合成孔径雷达中的多径利用。

---

摘要与引言：在遮挡中“看见”

在雷达应用中，尤其是密集的城市环境，建筑物等障碍物造成的遮挡是一个核心难题。当目标位于雷达的直接视距 (Line of Sight, LOS) 之外时，传统雷达系统将无法探测到它。然而，城市环境也是一个充满电磁反射的环境。信号会经由建筑墙面等表面反射，产生多条（即“多径”）从雷达传播到目标再返回的路径。对于传统的合成孔径雷达 (Synthetic Aperture Radar, SAR) 波束形成算法而言，这些多径返回信号是“虚假”的，它们不仅无法在目标的真实位置正确成像，还会在雷达图像上的其他位置产生“鬼影”或虚警 (False Alarms)。

本文的核心思想是变废为宝：它不再将多径视为干扰，而是将其作为一种可利用的信号资源。文章提出了两种新的信号处理技术，专门用于利用这些多径返回信号，在目标完全没有LOS路径的情况下，反演出其真实的、被遮挡的位置。

实现这一目标的前提假设是：

1. 环境几何已知：雷达“知道”反射墙面的位置和几何形状（例如，通过市政蓝图或先前的UAV侦察获得）。
2. 多径可解析：多径信号是可探测且可分辨的。
3. 主要考虑镜面反射：假设多径可以被视为镜面反射（Specular Reflection），而衍射（Diffraction）等更复杂的效应可以被忽略。

本文提出的两种技术分别在数据域（直接处理原始雷达回波）和图像域（处理已生成的传统SAR图像）上运行。它们的目标都是将那些由多径产生的“虚警”关联起来，并将它们“映射”回目标真实的阴影位置，从而在消除虚警的同时，显著提高目标真实位置的信噪比 (Signal to Clutter Ratio, SCR)。

文章通过两种典型的城市场景来检验这些技术：城市峡谷（目标隐藏在小巷中）和 T形交叉口（目标隐藏在拐角后）。

自由空间成像基础：传统SAR的数学模型

为了理解新技术的创新之处，我们首先需要回顾传统SAR（自由空间，即假设没有多径）的成像原理。

假设一个点目标位于 $x_t=[x_t,y_t{]}^T$，雷达传感器在 $M$ 个不同位置 $r_m$ ( $m=1,2,\dots ,M$ ) 进行观测。在第 $m$ 个位置，雷达发射波形 $s_m(t)$：

$$s_m(t)=p(t-(m-1)T_p)exp(j{\omega }_c(t-(m-1)T_p))$$

其中 $p(t)$ 是基带波形，${\omega }_c$ 是载波频率。

接收到的回波信号 $r_m(t)$ 是发射信号的延迟和衰减版本，并混有噪声 $v_m(t)$：

$$r_m(t)={\rho }_m{s}_m(t-2\tau (x_t;r_m))+v_m(t)$$

这里的 ${\rho }_m$ 是目标的雷达截面 (RCS)，$\tau (a;b)=||a-b||/c$ 是信号在 $a$ 和 $b$ 之间的单程传播时延， $c$ 是光速。

传统SAR成像（例如，通过反向投影算法）的核心是波束形成。它试图在图像网格的每一个“像素” $x$ 上重建信号强度。其计算公式 ${\mathcal{I}}_o(x)$ 如下：

Io(x)=∑m=1M{rm(t+2τ(x;rm))⊕sm∗(−t)}∣t=0\mathcal{I}_{o}(x)=\sum_{m=1}^{M}\{r_{m}(t+2\tau(x;r_{m}))\oplus s_{m}^{*}(-t)\}|_{t=0}Io​(x)=m=1∑M​{rm​(t+2τ(x;rm​))⊕sm∗​(−t)}∣t=0​

这个公式 (3) 的含义是：

1. 时间对齐：对于一个假设的像素点 $x$，计算信号从 $r_m$ 到 $x$ 再返回的往返时延 $2\tau (x;r_m)$。将接收到的信号 $r_m(t)$ 按照这个时延进行“反向”时移，得到 $r_m(t+2\tau (x;r_m))$。
2. 匹配滤波：将时移后的信号与发射信号的复共轭时间反褶 $s_m^{\ast }(-t)$ 进行卷积 ( $\oplus$ )。这本质上是一个匹配滤波操作，用于压缩脉冲，最大化信噪比。
3. 相干累加：在 $t=0$ 时刻对匹配滤波的输出进行采样，并将所有 $M$ 个传感器位置上的采样值相干地叠加起来。

如果假设的位置 $x$ 恰好等于目标的真实位置 $x_t$，那么来自所有 $M$ 个传感器的信号都会同相叠加，在 ${\mathcal{I}}_o(x_t)$ 处形成一个强烈的峰值。如果 $x\ne x_t$，信号会失相，叠加后相互抵消。

多径模型：虚假目标的产生

现在，我们进入本文的核心问题：非视距 (NLOS) 场景。

场景一：城市峡谷 (Urban Canyon)

如下图1所示，传感器 $r_m$ 位于巷口，目标 $x_t$ 隐藏在巷内深处，并被一个障碍物遮挡，导致没有LOS路径。但是，信号可以通过墙1、墙2和墙3反射到达目标。

根据几何光学，每一次镜面反射都等效于一个“虚拟目标” (Virtual Target)。例如，经由墙1的反射，看起来就像是信号来自位于墙1另一侧等距的虚拟目标 $x_1^{vt}$。这三个虚拟目标的位置 ${\chi }_k^{vt}$ (这里用 $x_k^{vt}$ 表示) 计算如下：

$x_1^{vt}:=[x_t,y_t{]}^T$
$x_2^{vt}:=[-x_t,2(D_1+D_y)-y_t){]}^T$
$x_3^{vt}:=[-(2D_2-x_t),y_t{]}^T$

在这种情况下，雷达接收到的信号 $r_m(t)$ 不再包含来自 $x_t$ 的直接回波，而是变成了纯粹的多径回波的叠加：

$$r_m(t)=\sum _{k=1}^3{\rho }_{mk}{s}_m(t-2\tau (x_k^{vt};r_m))+v_m(t)$$

这是本文的核心信号模型 (公式 5)。如果我们把这个信号 $r_m(t)$ 代入传统的SAR成像公式 (3)，会发生什么？
传统算法并不知道这些是多径。它会像处理正常信号一样，在 $x=x_1^{vt}$， $x=x_2^{vt}$ 和 $x=x_3^{vt}$ 的位置上形成三个强烈的峰值。算法会“错误地”报告在这些虚拟位置上有三个目标，而目标的真实位置 $x_t$ 处则是一片空白。

场景二：T形交叉口 (T-junction)

如下图2所示，目标 $x_t$ 隐藏在拐角后，被墙3遮挡。同样，信号可以通过墙1、墙2以及墙3和墙2的组合反射到达目标。

这同样会产生三个虚拟目标 ${\chi }_k^{vt}$ (这里用 $y_k^{vt}$ 表示)：

$y_1^{vt}=[x_t,y_t{]}^T$
$y_2^{vt}=[-x_t,2(D_3+D_1)-y_t{]}^T$
$y_3^{vt}=[-x_t,2D_3+,y_t{]}^T$

同样，传统SAR处理会在这三个虚拟位置上产生虚警，而无法探测到 $x_t$。此外，论文还通过公式 (7) 到 (10) 详细推导了目标必须满足的几何约束条件，例如，公式 (7) ${\bigcap }_{m=1}^M\{(x_t,y_t):\frac{y_t(d_m-D_2)}{d_m-x_t}\le D_1\}$ 定义了目标 $x_t$ 必须位于哪个区域内才能保证它始终被墙3遮挡，对所有传感器位置 $r_m$ 都不可见。

多径利用技术 (Multipath Exploitation)

本文的目标是设计一种算法，该算法的输出是在 $x_t$ 处产生峰值，而在 $x_k^{vt}$ 处不产生峰值。

A. 数据域 (Data Domain) 利用技术

该技术通过修改传统的波束形成公式 (3) 来实现。它不再对LOS路径进行反向投影，而是利用已知的墙体几何信息，在算法内部进行“多径反向投影”。

其核心思想是：
对于网格上每一个假设的目标位置 $x\in {\mathcal{W}}_{sub}$ (其中 ${\mathcal{W}}_{sub}$ 是目标可能存在的阴影区域)，我们首先根据几何关系计算出它将会产生的 $K$ 个（本文为3个）虚拟目标位置，记为 ${\overline{\chi }}_k^{vt}$。
然后，我们使用这些假设的虚拟位置 ${\overline{\chi }}_k^{vt}$ 来对齐接收到的信号 $r_m(t)$，并将所有 $K$ 个多径的能量相干地累加到假设的真实位置 $x$ 上。

修改后的波束形成图像 ${\mathcal{I}}_1(x)$ 计算如下：

I1(x)=∑m=1M∑k=13{rm(t+2τ(χ‾kvt;rm))⊕sm∗(−t)}∣t=0\mathcal{I}_{1}(x)=\sum_{m=1}^{M}\sum_{k=1}^{3}\{r_{m}(t+2\tau(\overline{\chi}_{k}^{vt};r_{m}))\oplus s_{m}^{*}(-t)\}|_{t=0}I1​(x)=m=1∑M​k=1∑3​{rm​(t+2τ(χ​kvt​;rm​))⊕sm∗​(−t)}∣t=0​

这是本文的第一个关键算法 (公式 11)。

工作原理：

• 当 $x\ne x_t$ 时：假设的虚拟位置 ${\overline{\chi }}_k^{vt}$ 与信号中 实际的 虚拟位置 ${\chi }_k^{vt}$ (来自公式 5) 不匹配。时移 $2\tau ({\overline{\chi }}_k^{vt};r_m)$ 是错误的，信号无法对齐，相干累加后相互抵消，${\mathcal{I}}_1(x)$ 很小。
• 当 $x=x_t$ 时：假设的 $x$ 恰好是真实目标位置。此时，我们计算出的假设虚拟位置 ${\overline{\chi }}_k^{vt}$ 将会精确地等于信号中实际的虚拟位置 ${\chi }_k^{vt}$。因此，公式 (11) 中的时移 $2\tau ({\overline{\chi }}_k^{vt};r_m)$ 完美地对齐了公式 (5) 中 $r_m(t)$ 包含的所有 $K$ 个多径分量。这 $K$ 个分量将同时同相地叠加，在 ${\mathcal{I}}_1(x_t)$ 处产生一个非常强烈的峰值。

这种方法将传统算法认为是虚警的 $K$ 个信号源，转变为了 $K$ 个用于相干累加的“有效传感器”，极大地提高了 $x_t$ 处的能量。

复合点扩散函数 (CPSF)

为了分析这种新算法的成像质量，作者引入了复合点扩散函数 (CPSF) 的概念。
首先，传统LOS场景下的点扩散函数 (PSF) $\mathcal{P}(x_t,x)$ (公式 14) 描述了当真实目标在 $x_t$ 时，在 $x$ 处成像的响应：

P(xt,x)=∑m=1MF−1{∣P(ω−ωc)∣2exp(−j(ω−ωc)2Δτm(xt;x))exp(−jωc2Δτm(xt;x))}∣t=0\mathcal{P}(x_{t},x)=\sum_{m=1}^{M}\mathcal{F}^{-1}\{|P(\omega-\omega_{c})|^{2} exp(-j(\omega-\omega_{c})2\Delta\tau_{m}(x_{t};x))exp(-j\omega_{c}2\Delta\tau_{m}(x_{t};x))\}|_{t=0}P(xt​,x)=m=1∑M​F−1{∣P(ω−ωc​)∣2exp(−j(ω−ωc​)2Δτm​(xt​;x))exp(−jωc​2Δτm​(xt​;x))}∣t=0​
其中 $\Delta {\tau }_m(x_t;x):=\tau (x_t;r_m)-\tau (x;r_m)$。

现在，将多径信号模型 (5) 代入新的数据域算法 (11)，并假设 ${\rho }_{mk}=1$ 且无噪声，我们得到CPSF ${\mathcal{P}}_c(x_t,x)$：

Pc(xt,x)=∑m=1M∑k=13∑l=13F−1{∣P(ω−ωc)∣2×exp(−j(ω−ωc)2Δτmkl(χkvt;χ‾lvt))×exp(−jωc2Δτmkl(χkvt;χ‾lvt))}∣t=0\mathcal{P}_{c}(x_{t},x)=\sum_{m=1}^{M}\sum_{k=1}^{3}\sum_{l=1}^{3}\mathcal{F}^{-1}\{|P(\omega-\omega_{c})|^{2} \times exp(-j(\omega-\omega_{c})2\Delta\tau_{mkl}(\chi_{k}^{vt};\overline{\chi}_{l}^{vt})) \times exp(-j\omega_{c}2\Delta\tau_{mkl}(\chi_{k}^{vt};\overline{\chi}_{l}^{vt}))\}|_{t=0}Pc​(xt​,x)=m=1∑M​k=1∑3​l=1∑3​F−1{∣P(ω−ωc​)∣2×exp(−j(ω−ωc​)2Δτmkl​(χkvt​;χ​lvt​))×exp(−jωc​2Δτmkl​(χkvt​;χ​lvt​))}∣t=0​

其中 $\Delta {\tau }_{mkl}({\chi }_k^{vt};{\overline{\chi }}_l^{vt}):=\tau ({\chi }_k^{vt};r_m)-\tau ({\overline{\chi }}_l^{vt};r_m)$。

这个CPSF可以被分解为两个部分：

1. 期望项 ${\mathcal{Q}}_c(x_t,x)$ (当 $k=l$ 时，公式 13)：
   Qc(xt,x)=∑m=1M∑k=13F−1{…exp(−jωc2Δτmkk(χkvt;χ‾kvt))… }∣t=0\mathcal{Q}_{c}(x_{t},x)=\sum_{m=1}^{M}\sum_{k=1}^{3}\mathcal{F}^{-1}\{\dots exp(-j\omega_{c}2\Delta\tau_{mkk}(\chi_{k}^{vt};\overline{\chi}_{k}^{vt}))\dots\}|_{t=0}Qc​(xt​,x)=m=1∑M​k=1∑3​F−1{…exp(−jωc​2Δτmkk​(χkvt​;χ​kvt​))…}∣t=0​
   这是我们期望的成像结果，它本质上是 $K$ 个多径分量各自的PSF的相干叠加。
2. 干扰项 (当 $k\ne l$ 时)：
   这是由不同多径路径（例如，路径1的信号与路径2的假设时延）之间的“交叉”匹配滤波引起的，它在传统PSF中不存在。

B. 图像域 (Image Domain) 利用技术

该技术不修改波束形成过程，而是对传统SAR生成的、充满虚警的图像 $I_o$ 进行后处理。

其核心思想是“掩膜与关联” (Mask and Associate)：

1. 生成虚警图像：首先，运行传统SAR算法 (公式 3)，得到原始的波束形成图像 $I_o$。这张图像在 $x_t$ 处没有峰值，但在 $K$ 个虚拟位置 ${\chi }_k^{vt}$ 处有强烈的“虚警”峰值。
2. 遍历假设：与数据域方法类似，我们遍历所有假设的目标位置 ${\tilde{x}}_t\in {\mathcal{W}}_{sub}$。
3. 生成PSF掩膜：对于每一个 ${\tilde{x}}_t$，我们计算出它对应的 $K$ 个虚拟位置 ${\tilde{\chi }}_k^{vt}$。然后，我们理论上计算出这 $K$ 个虚拟位置的传统PSF (使用公式 14)，记为 $P_k({\tilde{\chi }}_k^{vt})$。通过归一化和阈值化 (公式 15, 16)，我们将这些PSF转换成 $K$ 个二值掩膜 (Mask) ${\tilde{P}}_k$。
   $${\overline{P}}_k={\mathbb{I}}_{[{\overline{P}}_k\le \beta ]}$$
   这些掩膜 ${\tilde{P}}_k$ 的“亮斑”区域（值为1）正对应着 $K$ 个假设的虚警位置的主瓣。
4. 掩膜操作：我们将这 $K$ 个掩膜相加，然后与原始虚警图像 $I_o$ 的幅度进行元素级相乘 (Hadamard 积 $\odot$)：
   $$I_{mask}({\tilde{x}}_t)=|I_o|\odot ({\tilde{P}}_1+{\tilde{P}}_2+{\tilde{P}}_3)$$
   这个操作 (公式 17) 的含义是：只保留 $I_o$ 中位于假设的虚警位置的能量，其余部分全部清零。
5. 能量关联：最后，我们将掩膜后图像 $I_{mask}$ 中的所有能量求和，并将这个总能量值赋给假设的真实位置 ${\tilde{x}}_t$：
   $${\mathcal{I}}_e({\tilde{x}}_t)=1_{N_x}^T{I}_{mask}({\tilde{x}}_t)1_{N_y}$$

工作原理：

• 当 ${\tilde{x}}_t\ne x_t$ 时：我们生成的掩膜 ${\tilde{P}}_k$ 的位置，与 $I_o$ 中 真实的 虚警峰值位置 ${\chi }_k^{vt}$ 错开。$I_o$ 中的峰值能量被掩膜清零，因此 ${\mathcal{I}}_e({\tilde{x}}_t)$ 的值很小。
• 当 ${\tilde{x}}_t=x_t$ 时：我们生成的掩膜 ${\tilde{P}}_k$ 的位置 精确地 覆盖了 $I_o$ 中所有 $K$ 个真实的虚警峰值。公式 (17) 会将这 $K$ 个峰值的能量全部“提取”出来。公式 (18) 再将这 $K$ 份能量非相干地（因为是对幅度 $|I_o|$ 求和）累加到 ${\mathcal{I}}_e(x_t)$ 这一点上，形成一个强烈的峰值。

两种方法的对比：

• 数据域：计算上更优。它是相干累加，理论上SNR增益更高。但弱点是，如果多径信号因相位问题非相干（例如相消），它就会失败。
• 图像域：计算量稍大（需要先生成 $I_o$）。它是非相干累加。这使它对多径的非相干性不敏感，更加鲁棒。

C. 非理想场景：粗糙墙面 (Rough Walls)

实际的墙面不是理想的镜面。如下图3所示，粗糙的墙面会产生“漫反射” (Diffuse multipath)。

文章通过将墙面建模为 $N$ 个随机深度的“子反射体” (subreflectors) 来模拟这种效应。每个子反射体的位置 $x_{nr}$ 遵从高斯分布 $x_{nr}\sim \mathcal{N}(d_{xr},\eta \lambda )$。最终的漫反射回波是 $N$ 个子反射体回波的加权和：

$$\sum _{n=1}^N\mathcal{G}(n)s(t-2{\tau }_n)$$

其中权重 $\mathcal{G}(n)$ 使得靠近镜面反射点的子反射体贡献更大。这种效应会导致多径信号在距离上“拖尾”或“展宽”。

仿真验证 (Simulations)

文章通过一系列仿真验证了算法的有效性。

理想场景

图4 (城市峡谷) 和 图5 (T形交叉口) 展示了核心结果。

• 图 4(a) 原始图像：如理论所预测，峡谷内部（白色方框）没有目标。相反，在峡谷外部出现了三个清晰的“虚警”弧线，它们正是三个虚拟目标 $x_k^{vt}$ 的成像。
• 图 4(b) 数据域：效果惊人。三个虚警弧线被“折叠”回了峡谷内部，并精确地相交于一点——即目标 $x_t$ 的真实位置，形成了一个极其尖锐的峰值。
• 图 4© 图像域：得到了几乎相同的结果。虚警的能量被成功“提取”并“映射”回 $x_t$ 的真实位置。

• 图 5(a) 原始图像：目标 $x_t$ (红圈 ‘o’ 所示) 未被检测到。图像在T形交叉口内部的另一侧显示了一个虚警（来自墙1的反射），这具有高度迷惑性。
• 图 5(b) 和 © ：两种利用技术都成功地将所有虚警（包括那个在内部的）的能量重新定位到了 $x_t$ 的真实位置，实现了在拐角后的探测。

关键非理想场景

1. 非相干多径 (Incoherent Multipath)
   如图7所示，当多径信号由于相位问题相互抵消时：

  * **数据域方法 (a, b)** 失败了。在目标真实位置出现了一个“空洞”或“零点”（见图中放大的插图）。* 文章指出，**图像域方法**（未显示）在这种情况下依然**鲁棒**，因为它累加的是幅度，不受相位影响。

2. 噪声、杂波和CFAR检测
   图10和图11是在强噪声 (SNR=3dB) 和多个杂波目标（有LOS）的环境下进行的仿真。

  * **原始图像 (a)** 几乎被噪声淹没。* **原始图像+CFAR (d, g)** ：传统的CFAR检测器在噪声和杂波上产生了大量的虚警。* **利用技术+CFAR (e, f, h, i)**：在应用了数据域或图像域技术后，CFAR检测器**成功地检测到了真实的、被遮挡的目标**，并且（在峡谷场景中）有效抑制了那些有LOS的杂波目标（因为它们的信号模式与算法所寻找的多径模式不匹配），显著降低了虚警率。

3. 粗糙墙面 (Wall Roughness)
   如图12所示，当墙面粗糙时，漫反射导致成像结果（原先清晰的弧线）在距离维上被“涂抹”或“展宽”。这会降低算法的聚焦性能。

4. 墙面位置不精确 (Inaccuracies in wall positions)

这是本文最重要的限制性因素。如果“已知”的几何信息是错误的（例如，墙的位置有 $\pm 0.5m$ 的误差），会发生什么？**图 15** 显示了结果：数据域算法“折叠”回来的多径轨迹**不再相交于同一点**。这导致相干累加的增益（数据域）或能量关联（图像域）的效果大幅下降，在真实目标位置 $x_t$ (图中 'o' 所示) 的SNR增益显著降低。为了量化这种不确定性，附录B（在图16和17中展示）提出了一个**敏感性分析框架**：

  * 它首先计算每个*受误差影响的*多径 $\mathcal{Q}_{ck}$ (公式 24) 的主瓣区域 $\mathcal{A}_k$ (公式 25)。* **情况1（图b）**：如果这些区域 $\mathcal{A}_k$ 仍然存在交集 $\mathcal{B}$ (公式 26)，则交集点仍可被视为目标位置（尽管有偏差）。* **情况2（图a）**：如果这些区域*不再相交*，算法会定义一个“**不确定性多边形**” (Uncertainty Polygon) $\mathcal{D}$ (公式 27)，该多边形包含了所有分离的主瓣。此时，算法只能报告目标位于这个多边形*区域*内，而无法精确定位。

结论 (Conclusions)

本文成功地提出了两种在NLOS（非视距）城市环境下利用多径信号探测和定位隐藏目标的SAR算法（数据域和图像域）。仿真表明，这些技术能有效“解开”多径造成的虚警，将其重新聚焦到目标的真实位置，从而在抑制虚警的同时提高目标的SCR。然而，本文也揭示了一个关键的实践挑战：这些利用技术目前高度依赖于对环境（墙面）几何位置的精确先验知识。

---

附录：矩形波形的PSF与CPSF数学推导

原文的附录A提供了当发射波形 $p(t)$ 为标准矩形脉冲时，PSF和CPSF的具体数学形式。

假设基带波形 $p(t)$ 是一个宽度为 $T$ 的矩形函数：
$$p(t)=rect(t/T):=\{\begin{array}{ll}1& 0\le t\le T\\ 0& otherwise\end{array}$$

其傅里叶变换 $P(\omega )$ 为：
$$P(\omega )=T\cdot exp(-j\omega T/2)\cdot Sinc(\omega T/2\pi )$$

1. 传统PSF推导 (针对矩形波)

将 $P(\omega )$ 代入通用的PSF公式 (14) 中。公式的核心是 $|P(\omega -{\omega }_c){|}^2$ 的逆傅里叶变换，这对应于 $p(t)$ 的自相关函数，即一个宽度为 $2T$ 的三角波。

经过推导，特定于矩形波的PSF ${\mathcal{P}}^r(x_t,x)$ (公式 19) 可以写为：
$${\mathcal{P}}^r(x_t,x)=\sum _{m=1}^M\Psi (\Delta {\tau }_m(x_t;x))$$

其中 $\Psi (\cdot )$ (公式 20) 就是这个三角波函数，它只在 $|\Delta {\tau }_m|\le T$ 时非零：
$$\Psi (\Delta {\tau }_m(x_t;x)):=\{\begin{array}{ll}{\Phi }_1(\cdot )& \frac{|\Delta R_m(x_t;x)|}{\Delta R}\le 1\\ 0& otherwise\end{array}$$

${\Phi }_1(\cdot )$ (公式 25) 是三角波的幅度和相位：
$${\Phi }_1(\cdot )=T(1-\frac{|\Delta R_m(x_t;x)|}{\Delta R})exp(-j{\omega }_{c}2\Delta {\tau }_m(x_t;x))$$

这里的关键参数是 $\Delta R=cT/2=c/2B$ (其中 $B\approx 1/T$ 是带宽)，它代表了系统的距离分辨率。这个公式清晰地显示了PSF在距离维上是一个幅度按三角形状衰减的脉冲，并携带由时延 $\Delta {\tau }_m$ 引起的载波相位。

2. CPSF推导 (针对矩形波)

采用完全相同的逻辑，将 $P(\omega )$ 代入通用的CPSF公式 (12)，我们得到特定于矩形波的CPSF ${\mathcal{P}}_c^r(x_t,x)$ (公式 21)：
$${\mathcal{P}}_c^r(x_t,x)=\sum _{m=1}^M\sum _{k=1}^3\sum _{l=1}^3\Psi (\Delta {\tau }_{mkl}({\chi }_k^{vt};{\overline{\chi }}_l^{vt}))$$

这里的 $\Psi (\cdot )$ (公式 22) 是完全相同的三角波函数，只是其自变量变为了多径时延差 $\Delta {\tau }_{mkl}$：
$$\Psi (\Delta {\tau }_{mkl}({\chi }_k^{vt};{\overline{\chi }}_l^{vt})):=\{\begin{array}{ll}{\Phi }_2(\cdot )& \frac{|\Delta R_{mkl}({\chi }_k^{vt};{\overline{\chi }}_l^{vt})|}{\Delta R}\le 1\\ 0& otherwise\end{array}$$

其幅度和相位 ${\Phi }_2(\cdot )$ (公式 645) 形式也相同：
$${\Phi }_2(\cdot )=T(1-\frac{|\Delta R_{mkl}({\chi }_k^{vt};{\overline{{\chi }_l}}^{vt})|}{\Delta R})exp(-j{\omega }_{c}2\Delta {\tau }_{mkl}({\chi }_k^{vt};{\overline{{\chi }_l}}^{vt})$$

3. 干扰项 (Interference Term)

有了这些形式，我们就可以明确写出CPSF中的干扰项 (公式 23)。它等于总的CPSF减去期望项 (即 $k=l$ 的项)：

$${\mathcal{P}}_c(x_t,x)-{\mathcal{Q}}_c(x_t,x)=\sum _{m=1}^M\sum _{k=1}^3\sum _{l=1,l\ne k}^3\Psi (\Delta {\tau }_{mkl}({\chi }_k^{vt};{\overline{\chi }}_l^{vt}))$$

这个公式表明，数据域算法中的空间干扰（鬼影）是由不同多径路径 ($k\ne l$) 之间的时延差 $\Delta {\tau }_{mkl}$ 决定的。当这个时延差小于一个距离分辨率（即 $|\Delta R_{mkl}|\le \Delta R$）时，$\Psi (\cdot )$ 非零，就会产生干扰。仿真（图8）表明，这些干扰项通常是空间扩展的，其幅度与传统PSF的旁瓣电平相当。