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强化学习-CH2 状态值和贝尔曼等式

状态值（State Value）它被定义为agent在遵循给定策略时所能获得的平均奖励。 状态值越大，对应的策略越好。 状态值可以用作评估策略是否良好的度量。Bellman方程描述了所有状态值之间的关系。 通过求解Bellman方程，可以得到状态值。 这个过程被称为策略评估，这是强化学习中的一个基本概念。

2.1 计算回报（returns）的两种方式

针对上图的网格世界，计算回报有两种方式：

（1）按照定义：回报等于沿一条轨迹收集的所有奖励的折现总和。

vi表示从si出发所得到的回报（奖励总和）。

（2）自举：

上述等式可以写成矩阵形式：

有：

状态值就可以计算：

2.2 状态值（State Values）

从t时刻起，得到一条轨迹

St,At,Rt表示状态，动作，奖励，他们都是随机变量

这条轨迹的回报是：

Gt也是随机变量，可以计算它的期望

vπ（s）表示状态s的值，它只依赖于s（从s出发）和策略π

状态值与回报之间的关系进一步阐明如下。 当策略和系统模型都是确定的时，从一个状态开始总是会导致相同的轨迹。 在这种情况下，从一个状态开始获得的回报等于该状态的值。 相比之下，当策略或系统模型是随机的，从相同的状态出发可能会产生不同的轨迹。 在这种情况下，不同轨迹的收益是不同的，状态值是这些收益的均值。

状态值：在给定策略π下，从一个状态出发，获取到的回报的均值。

2.3 贝尔曼（Bellman）公式

等式右边的第一项表示立即回报

第二项表示未来回报的期望

因此原等式可以写成以下形式：

上式就是贝尔曼公式，它体现了所有状态值之间的关系，从贝尔曼公式计算状态的过程就称为策略评估过程。

p(r|s,a)和p(s’|s,a)代表系统模型

2.4 贝尔曼公式的向量形式

rπ（s）表示立即回报 pπ（s’|s）表示在策略π下从s转移到s’的概率

向量形式：

2.5 从贝尔曼公式中求解状态值

2.5.1 Closed-form solution

直接求解

2.5.2 迭代求解

迭代法生成一系列value，其中v0是初始猜测

2.6 从状态值到动作值

动作值（action value）在某个状态下采取一个动作的值

一个状态-动作对（s,a）的动作值定义为

状态值是对与该状态相关联的动作值的期望。

2.7 动作值的贝尔曼公式

态值是对与该状态相关联的动作值的期望。

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2.7 动作值的贝尔曼公式

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