【题解】洛谷 P2218 [HAOI2007] 覆盖问题 [二分 + 思维]

P2218 [HAOI2007] 覆盖问题 - 洛谷

答案具有单调性，可以二分。

注意到最优解的塑料膜的边上都应该有点（角上的算两条边的），即：

最上、最下、最左和最右的点，都要刚好被小正方形覆盖。

把整体的点看作一个大长方形，肯定要有一个小正方形覆盖大长方形的一个角。

（覆盖最上和最左，或最上和最右，或最下和最右，或最下和最左）

反证：如果所有小正方形都不覆盖角，那么这个大长方形肯定可以再小。

那么递归三个小正方形，每个小正方形都覆盖当前未覆盖值域的一个角。

设  是数据范围，详细时间复杂度 ，可以通过。

 

详细见注释代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
const int N = 2e4 + 10;
const LL inf = 2000000010LL;   // 极限（ 1e9+10 不够大，因为坐标差可达 2e9）struct Point {LL x, y;
} a[N];int n;
int v[N];  // 标记每个点是否被覆盖（0=未覆盖）bool dfs(LL k, int id) {if (id == 4) {     // 三个小正方形全部完成 for (int i = 1; i <= n; i ++) {if (!v[i]) {return 0;}}return 1;}LL mnx = inf, mxx = -inf;LL mny = inf, mxy = -inf;for (int i = 1; i <= n; i ++) if (!v[i]) {mnx = min(mnx, a[i].x);mxx = max(mxx, a[i].x);mny = min(mny, a[i].y);mxy = max(mxy, a[i].y);} if (mnx == inf) {    // 全都覆盖了 return 1;}// 把紧贴着四个角的小正方形放进去 // 每个正方形用 pair<Point, Point> 表示：first 是左下角，second 是右上角vector<pair<Point, Point>> conner;conner.push_back({{mnx, mny}, {mnx + k, mny + k}});     // 左下角对齐conner.push_back({{mnx, mxy - k}, {mnx + k, mxy}});     // 左上角对齐conner.push_back({{mxx - k, mny}, {mxx, mny + k}});     // 右下角对齐conner.push_back({{mxx - k, mxy - k}, {mxx, mxy}});     // 右上角对齐bool flag = 0;   // 当前循环是否有解 for (auto i : conner) {LL lx = i.first.x, rx = i.second.x;LL ly = i.first.y, ry = i.second.y;// 保存当前状态，用于回溯vector<int> bak(v + 1, v + n + 1);for (int j = 1; j <= n; j ++) if (!v[j]) {if (a[j].x >= lx && a[j].x <= rx && a[j].y >= ly && a[j].y <= ry) { v[j] = id;    // 在范围内就可以覆盖到 }}flag |= dfs(k, id + 1);    // 遍历下一个小正方形 // 回溯：恢复 v 数组for (int j = 1; j <= n; j++) {v[j] = bak[j - 1];}if (flag) {break; // 提前终止（可选优化）}}return flag;
}bool check(LL k) {     // 返回 1 是成功 memset(v, 0, sizeof(v));    // 所有点都是未覆盖状态 return dfs(k, 1);   // 递归边长与小正方形编号 
}int main () {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++) {cin >> a[i].x >> a[i].y;}LL l = 0, r = 2000000000LL, p = 0;     // 二分枚举小正方形边长// 边长最小可以是 0（所有点重合的情况） while (l <= r) {LL mid = (l + r) >> 1;if (check(mid)) {r = mid - 1;p = mid;}else {l = mid + 1;}} cout << p << "\n";return 0;
}