状压DP：从入门到精通
“樱花落尽阶前月，象床愁倚薰笼”
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一、状压DP的基本概念
1.1 什么是状态压缩？
状态压缩是一种用单个整数的二进制位来表示多个布尔状态的技术。在动态规划中，当问题涉及多个相互关联的二元决策时，状态压缩可以显著降低空间复杂度。
核心思想：用一个n位二进制数表示n个元素的true/false状态组合。
1.2 为什么需要状态压缩？
考虑以下场景：
- 有n个城市，需要记录哪些城市已经访问过
- 有n个任务，需要记录哪些任务已经完成
- 有n个位置，需要记录哪些位置已被占用
传统方法：使用布尔数组
"bool visited[n]"
- 空间复杂度：O(n)存储一个具体状态
- 状态总数：2^n种可能，但无法直接作为数组下标
状压方法：使用整数
"int state"
- 空间复杂度：O(1)存储一个具体状态
- 状态总数：2^n种可能，可以直接作为数组下标
二、状压DP的数学基础
2.1 状态空间的表示
设问题有n个二元决策点，每个决策点有2种选择，则：
- 总状态数：2^n
- 状态编码：0 到 2^n - 1 的整数
- 状态s的第i位（从0开始）表示第i个决策点的选择
示例：n=3时的状态编码
000 (0) - 都不选
001 (1) - 选第0个
010 (2) - 选第1个
011 (3) - 选第0、1个
100 (4) - 选第2个
101 (5) - 选第0、2个
110 (6) - 选第1、2个
111 (7) - 全选
2.2 状态转移的数学描述
状压DP的状态转移通常形式为：
dp[new_state] = f(dp[old_state], transition_cost)
其中new_state是old_state添加某些元素后的新状态。
三、状压DP的核心组件
3.1 状态设计原则
良好的状态设计应满足：
1. 完整性：状态应包含解决问题的足够信息
2. 无后效性：未来决策只与当前状态有关，与如何到达无关
3. 可转移性：能够明确地定义状态之间的转移关系
常见状态设计模式：
// 模式1：集合+当前位置
dp[state][pos] - 已访问集合state，当前在位置pos// 模式2：阶段+状态
dp[state][k] - 状态为state，已完成k个阶段// 模式3：纯状态压缩
dp[state] - 状态state下的最优值
3.2 状态转移方程
状态转移是状压DP的核心，需要考虑：
1. 可行性检查：转移是否合法
2. 代价计算：转移的代价或收益
3. 最优子结构：当前状态的最优解由子状态的最优解得到
四、状压DP的复杂度分析
5.1 时间复杂度
状压DP的典型时间复杂度为 0(2^nxnxT)，其中:
·2^n:状态总数
·n:通常需要遍历所有位置进行状态转移
·T:单个状态转移的时间复杂度示例:TSP问题的时间复杂度为 0(2^nxn2)
5.2 空间复杂度
通常为 0(2^nxS)，其中S是每个状态需要存储的额外信息里。
优化技巧:使用滚动数组可以将空间复杂度降为 0(2^n)
五、状压DP的适用问题特征
6.1 适合使用状压DP的问题特征
1.规模适中:n≤25(2^25~3.3x10^6)
2.状态二元:每个决策点只有有限种状态(通常是2种)
3.相互影响:决策点之间存在约束或依赖关系
4.组合优化:需要找到最优的状态组合
6.2 典型应用场景
1.路径问题:TSP、哈密顿路径
2.覆盖问题:棋盘覆盖、集合覆盖
3.安排问题:任务调度、课程安排
4.组合问题:子集和、精确覆盖
六、状压DP的解题模板
7.1 通用解题步骤
// 步骤1：确定状态表示
int state_num = 1 << n;
vector<int> dp(state_num, INF);// 步骤2：初始化基础状态
dp[0] = 0; // 或者dp[初始状态] = 初始值// 步骤3：状态转移
for (int s = 0; s < state_num; s++) {if (dp[s] == INF) continue; // 不可达状态跳过for (int i = 0; i < n; i++) {if (s & (1 << i)) continue; // 已包含的元素跳过int new_s=S(1<< i);int cost =//计算转移代价dp[new_s]=min(dp[news]，dp[s]+cost);//步骤4:获取最终结果int result=dp[state_num1];}
}7.2 状态设计的思考过程
1.识别决策点:问题中有哪些需要做二元决策的元素?
2.确定状态信息:需要记录哪些信息才能做出后续决策?
3.设计状态编码:如何用二进制位表示这些信息?
4.定义状态转移:状态之间如何转移?转移的代价是什么?
八、实例分析:任务调度问题
问题描述:有n个任务，每个任务有执行时间和截止时间，安排任务顺序使得超时任务数最少。
状态设计思路
// 状态表示：dp[state] = 完成state任务集合的最少超时任务数
// state的第i位为1表示任务i已完成// 状态转移：考虑下一个执行哪个任务
// 如果加入任务i后总时间超过截止时间，超时数+1
这个例子展示了状压DP在调度问题中的应用，状态记录了已完成的任务集合，便于计算总时间和判断是否超时。
九、总结
状压DP是一种强大的算法技术，其核心在于:
用二进制位简洁表示复杂状态
通过位运算高效处理状态转移
将组合优化问题转化为动态规划问题
掌握状压DP需要
1.深入理解位运算
2.熟练状态设计方法
3.掌握复杂度分析方法
4.积累实际问题经验
状压DP虽然有一定难度，但一旦掌握，就能解决许多传统方法难以处理的问题qwq，如果你耐心地看完了这篇博，那就请给个赞吧，谢谢Thanks♪(･ω･)ﾉ。
