xtuoj Candy
题目
思路
通过模3运算我们可以把1~N中的数分成三部分，模三余0，模三余1，模三余2，即3n、3n+1、3n+2这三部分。
题目要求取出来的三个数之和是3的倍数，那么有四种情况，从模三余0的数里面取三个、从模三余1的数里面取三个、从模三余2的数里面取三个以及从模三余0、1、2的数里面分别取一个。
模三余0、1、2的个数分别设为c0、c1、c2。
c0就是满足求1=<3n<=N中，n的个数，n最大取值为N/3，n=1,2,3,...,N/3，一共有N/3个，也就是说c0=N/3；c1就是满足求1=<3n+1<=N中，n的个数，n最大取值为N/3，n=0,1,2,3,...,(N-1)/3，一共有(N-1)/3+1=(N+2)/3个，也就是说c1=(N+2)/3；c2就是满足求1=<3n+2<=N中，n的个数，n最大取值为(N-2)/3，n=1,2,3,...,(N-2)/3，一共有(N-2)/3+1=(N+1)/3个，也就是说c2=(N+1)/3。
然后从n个里面取3个，需要用到组合数，而 =
，n最大值达到了
，三个
相乘，结果可能会溢出，而且还要除以6，可能会有整数除法一些精度的问题，此外题目最后有要求要模1000000007，所以我们为了避免这些问题，不妨在计算组合数的过程中就模1000000007，而模运算不适用于除法，所以我们想要把除法转换为乘法，需要用到逆元，逆元的求法有很多种，可以看我写的其他博客求逆元方法详解-CSDN博客，然后这里我将采用费马小定理这种方法，还需要用到快速幂，然后避免除法还可以避免整数除法精度的问题，岂不妙哉！
当然由于我们只要求一个逆元，所以其实可以先用费马小定理写个代码先求出来，这样我们在计算组合数的时候就可以直接用了，而不用每次求组合数的时候都求一次逆元。
其实也不是非得求逆元，那就把空间设置大一点，然后就用普通的计算方法就好了，但是还是要注意不要把所有方案都加起来之和一起再模，这样可能结果会非常大，应该算一种方案取模后累加起来，再去算另外的方案取模。
代码一
#include <stdio.h>
#define MOD 1000000007
#define ll long long// 计算组合数C(n,3)，如果n<3则返回0
ll C(ll n) {if (n < 3) return 0;// 预计算6的逆元（模MOD下），166666668是6在模10^9+7下的逆元ll inv6 = 166666668;return n * (n - 1) % MOD * (n - 2) % MOD * inv6 % MOD;
}int main() {ll N;while (scanf("%lld", &N) && N != 0) {ll c0 = N / 3; // 余0的数的个数ll c1 = (N + 2) / 3; // 余1的数的个数ll c2 = (N + 1) / 3; // 余2的数的个数ll ans = c0 * c1 % MOD * c2 % MOD; // 情况4：各余数选一个ans = (ans + C(c0)) % MOD; // 情况1ans = (ans + C(c1)) % MOD; // 情况2ans = (ans + C(c2)) % MOD; // 情况3printf("%lld\n", ans);}return 0;
}代码二
#include <stdio.h>
#define MOD 1000000007
#define ll long longll inv6;// 快速幂计算a^b % MOD
ll pow_mod(ll a, ll b) {ll res = 1;while (b) {if (b & 1) res = res * a % MOD;a = a * a % MOD;b >>= 1;}return res;
}// 计算组合数C(n,3)
ll C(ll n) {if (n < 3) return 0;return n * (n - 1) % MOD * (n - 2) % MOD * inv6 % MOD;
}int main() {ll N;inv6 = pow_mod(6, MOD-2);while (scanf("%lld", &N) && N != 0) {ll c0 = N / 3;ll c1 = (N + 2) / 3;ll c2 = (N + 1) / 3;ll ans = c0 * c1 % MOD * c2 % MOD; // 三种余数各选一个ans = (ans + C(c0)) % MOD;ans = (ans + C(c1)) % MOD;ans = (ans + C(c2)) % MOD;printf("%lld\n", ans);}return 0;
}代码三
#include <stdio.h>
#define MOD 1000000007
#define ll long longint main() {ll N;while (scanf("%lld", &N) && N != 0) {ll c0 = N / 3;ll c1 = (N + 2) / 3;ll c2 = (N + 1) / 3;// 直接计算所有情况，避免复杂的组合数函数ll ans = 0;// 情况1：三个数都模3余0if (c0 >= 3) ans = (ans + c0 * (c0 - 1) * (c0 - 2) / 6) % MOD;// 情况2：三个数都模3余1if (c1 >= 3) ans = (ans + c1 * (c1 - 1) * (c1 - 2) / 6) % MOD;// 情况3：三个数都模3余2if (c2 >= 3) ans = (ans + c2 * (c2 - 1) * (c2 - 2) / 6) % MOD;// 情况4：三个数余数各不相同ans = (ans + c0 * c1 % MOD * c2 % MOD) % MOD;printf("%lld\n", ans);}return 0;
}