pyhton 螺旋矩阵（指针-矩阵-中等）含源码（二十六）

问题说明（含示例）

问题描述：给定一个正整数 n，生成一个 n x n 的正方形矩阵，矩阵中包含 1 到 n² 的所有元素，且元素按顺时针螺旋顺序排列。

示例输入 输出 解释n = 3 [[1,2,3],[8,9,4],[7,6,5]] 元素从 1 到 9 按顺时针螺旋排列：先右移填充第一行，再下移填充最后一列，再左移填充最后一行，再上移填充第一列，最后填充中心元素n = 1 [[1]] 仅 1 个元素，直接返回包含 1 的单元素矩阵n = 2 [[1,2],[4,3]] 元素 1→2→3→4 按顺时针螺旋排列（右移→下移→左移）

解题关键

核心思路是通过控制边界的螺旋遍历模拟填充过程，利用 “上、下、左、右” 四个边界变量动态收缩范围，按顺时针顺序（右→下→左→上）依次填充元素，直到所有数字（1 到 n²）都被填入矩阵。

具体步骤如下：

• 初始化 n x n 矩阵（填充 0 占位）；
• 定义四个边界：top（上边界，初始为 0）、bottom（下边界，初始为 n-1）、left（左边界，初始为 0）、right（右边界，初始为 n-1）；
• 从 1 开始填充数字，直到填充完 n²：
  1. 从左到右填充上边界行，完成后上边界上移（top += 1）；
  2. 从上到下填充右边界列，完成后右边界左移（right -= 1）；
  3. 若上边界未超过下边界，从右到左填充下边界行，完成后下边界下移（bottom -= 1）；
  4. 若左边界未超过右边界，从下到上填充左边界列，完成后左边界右移（left += 1）；
• 重复上述步骤，直到所有数字填充完毕。

核心逻辑 + 关键细节

一、核心逻辑：如何模拟顺时针螺旋填充？

通过 “边界收缩” 控制填充范围，将螺旋过程拆解为四次方向填充，每次填充后调整边界，确保不重复填充已有元素：

1. 方向顺序固定：严格按照 “右→下→左→上” 的顺时针顺序填充，符合螺旋的自然轨迹；
2. 边界动态调整：每完成一个方向的填充，对应的边界向内收缩（如右移填充完第一行后，上边界下移，避免再次填充该行）；
3. 边界有效性判断：在填充 “左” 和 “上” 方向时，需判断当前边界是否仍有效（如top <= bottom确保下边界行未被填充过），避免越界或重复填充。

二、关键细节：避坑与优化点

• 矩阵初始化：用[[0]*n for _ in range(n)]创建 n x n 矩阵，避免浅拷贝问题（如[[0]*n]*n会导致修改一行全部同步）；
• 循环终止条件：以 “当前填充数字current <= n²” 为循环条件，确保所有数字都被填充；
• 方向填充的范围控制：
  • 左到右：列从left到right（包含两端）；
  • 上到下：行从top到bottom（包含两端）；
  • 右到左：列从right到left（逆序，步长为 -1）；

  • range 函数参数含义range(right, left - 1, -1) 用于生成从右边界到左边界的逆序列索引，具体参数作用：

    • start = right：起始列索引为当前右边界（最右侧的列）；
    • stop = left - 1：终止条件为 “小于 left - 1 时停止”（实际会包含 left 列，因为当 col 减到 left 时，下一次会是 left - 1，此时停止）；
    • step = -1：步长为 -1，表示列索引从大到小递减（即 “从右向左” 遍历）。
  • 下到上：行从bottom到top（逆序，步长为 -1）；
• 边界收缩的时机：每个方向填充完成后立即收缩边界（如右移填充后top += 1），避免下一次填充时重复使用该边界。

对应代码

def generateMatrix(n: int) -> list[list[int]]:# 初始化 n x n 矩阵，用0占位matrix = [[0] * n for _ in range(n)]# 定义四个边界top, bottom = 0, n - 1left, right = 0, n - 1current = 1  # 从1开始填充while current <= n * n:# 1. 左到右填充上边界行for col in range(left, right + 1):matrix[top][col] = currentcurrent += 1top += 1  # 上边界下移# 2. 上到下填充右边界列for row in range(top, bottom + 1):matrix[row][right] = currentcurrent += 1right -= 1  # 右边界左移# 3. 右到左填充下边界行（需确保上边界未超过下边界）if top <= bottom:for col in range(right, left - 1, -1):matrix[bottom][col] = currentcurrent += 1bottom -= 1  # 下边界上移# 4. 下到上填充左边界列（需确保左边界未超过右边界）if left <= right:for row in range(bottom, top - 1, -1):matrix[row][left] = currentcurrent += 1left += 1  # 左边界右移return matrix

对应的基础知识

实现该算法需掌握以下 Python 基础概念与操作：

1. 二维列表的创建

   • 语法：[[0]*n for _ in range(n)] 生成 n 行 n 列的矩阵，每行是独立的列表；
   • 注意：避免使用[[0]*n]*n，否则修改一行会导致所有行同步变化（浅拷贝特性）。

2. 循环与 range 的使用

   • for 循环：用于按方向遍历矩阵的行或列；
   • range 函数：
     • 正向遍历：range(left, right + 1) 覆盖从 left 到 right 的所有列；
     • 逆向遍历：range(right, left - 1, -1) 覆盖从 right 到 left 的所有列（步长为 -1）。

3. 边界变量的更新

   • 通过top += 1、right -= 1等操作动态调整边界，控制填充范围；
   • 边界变量是 “状态标记”，直接决定下一次填充的起点和终点。

4. 条件判断语句

   • if top <= bottom 和 if left <= right 用于判断边界有效性，避免在矩阵填充后期（如只剩一行或一列时）出现重复填充。

对应的进阶知识

该问题涉及螺旋遍历的通用逻辑、复杂度分析与边界处理技巧：

1. 时间复杂度：O (n²)

   • 矩阵共有 n² 个元素，每个元素仅被填充一次，因此总操作次数为 n²，时间复杂度为 O (n²)。

2. 空间复杂度：O (n²)

   • 需创建 n x n 的矩阵存储结果，属于输出必要空间，因此空间复杂度为 O (n²)。

3. 螺旋遍历的通用模型

   • 核心是 “方向循环 + 边界收缩”，适用于所有螺旋遍历类问题（如螺旋读取矩阵、螺旋填充矩阵）；
   • 方向顺序可灵活调整（如逆时针），只需修改填充的方向顺序和边界收缩逻辑。

4. 奇偶 n 的差异处理

   • 当 n 为奇数时，最后会剩余中心一个元素（如 n=3 时的 9），通过第四次边界判断（left <= right）后，会进入最后一次左到右填充，自动处理中心元素；
   • 当 n 为偶数时，所有元素会被四次方向填充完整覆盖，无单独中心元素。

编程思维与启示

1. “拆解问题” 的思维

   • 将复杂的 “螺旋填充” 拆解为 “右→下→左→上” 四个简单的直线填充步骤，通过循环重复这四个步骤，降低问题复杂度；
   • 启示：面对复杂轨迹问题（如蛇形、螺旋），可拆解为有限的基础方向，通过循环实现。

2. “边界控制” 的重要性

   • 用边界变量（top/bottom/left/right）精准控制填充范围，避免手动计算索引（易出错）；
   • 启示：涉及区间或范围的问题（如子数组、矩阵遍历），优先用边界变量标记范围，而非直接操作索引。

3. “状态同步” 的维护

   • 每次填充后立即更新边界（如填充完上边界后top += 1），确保下一次填充的状态正确；
   • 启示：操作与状态变更需同步，避免因状态滞后导致逻辑错误（如重复填充同一行）。

4. “条件判断” 的必要性

   • 通过if top <= bottom等判断避免无效填充，适应不同 n 的场景（如 n=1 时无需填充下和左方向）；
   • 启示：算法需具备 “鲁棒性”，通过条件判断处理边界情况，避免一刀切逻辑。