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【题解】P2501 [HAOI2006] 数字序列 [思维 + dp]

news 2025/10/23 8:38:19

P2501 [HAOI2006] 数字序列 - 洛谷

1.解题前思考

注意到需要先改变的点最少，其次才是代价最小。

既然要改变，肯定是有一些 $a_i$ 是固定不变的，作为严格递增的范本。

考虑 $a_i$ 和 $a_j(i\leq j)$ ，如果这两个点都是固定点，那应该满足 $a_j-a_i\geq j-i$ 。

至此，我们确定做法：

（1）筛出固定点

（2）把两个固定点之间不合法段处理成合法段

2.深度思考

满足 $a_j-a_i\geq j-i$ 的 $a_i$ 和 $a_j(i\leq j)$ 是一对固定点，我们尽量让固定点更多。

即满足以上条件且长度最长的 $a$ 中序列，是最优方案。

注意到合法段是严格上升（严格阶梯状），不好计算代价，考虑定义 $b[i]=a[i]-i$ 。

$a_j-a_i\geq j-i \Rightarrow (a_j -j)-(a_i -i)\geq 0\Rightarrow b_j-b_i\geq 0$

即 $b$ 中的最长不降序列是最优方案。

这样 $b$ 中的合法段是不降（一段段平的拼接）的，代价计算方便（看到后面就知道方便在哪）。

考虑将两个固定点之间的不合法段改成合法所需的代价。

这个段内肯定没有在 $b[i]$ 和 $b[j]$ 之间的值，不然最长不降序列还能再长。

所以对于一个点来说，最终改成的值不是 $b[i]$ 就是 $b[j]$ ，这样代价才最小。

但我们又要求最终合法是不降序列，所以肯定是前一段 $b[i]$ ，后一段 $b[j]$ 。

反证：

如果前一段中靠近后一段的一段，改成 $x(b[i]<x<b[j])$ 代价比改成 $b[i]$ 更小，

那么可以证明，这一段改成 $b[j]$ 代价会更小。

如果后一段中靠近前一段的一段，改成 $x(b[i]<x<b[j])$ 代价比改成 $b[j]$ 更小，

那么可以证明，这一段改成 $b[i]$ 代价会更小。

3.构造代码

$b$ 中的最长不降序列，可以用二分 / 树状数组 / 线段树 $O(Nlog\ N)$ 的时间求出来。

我这里选择了二分，同时增加一个合法点 n + 1，照顾到那些结尾不在 n 的最长不降序列。

二分结束后添加一个合法虚拟起点 0，照顾到那些开头不在 1 的最长不降序列。

然后一个个枚举不合法区间，由于最长不降序列可能有多个，

这里选择每个点都求出最长不降序列大小 $L[i]$ ，然后把每个点放到对应的 $L[i]$ 桶中。

每次取区间时就从 $L[j] -1$ 的桶中取 $b[i]$ 小于等与当前 $b[j]$ 值的点当作 $i\ (i<j)$ 。

再求出 $sumi[x]$ 和 $sumj[x]$ 两个数组，代表 $i$ 到 $x$ 全部改成 $b[i]\ or\ b[j]$ 的代价。

枚举前一段后一段的临界点 $k$ ，求出最小值。

这个最小值只能代表这段不合法段的最小代价，不能代表这道题的答案。

考虑定义 dp 数组，dp[i] 代表从虚拟起点 0 到合法点 i 的最小总代价。

最后输出 dp[n + 1]，详细见代码。

时间复杂度最坏 $O(N^3)$ ，但题目说 “随机生成”，可以看作 $O(N^2)$ ，玄学可过。

注释代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
const int N = 35e3 + 10;int a[N], b[N];
int mn_end[N], len;   // [i]：长度为 i 的最长不降子序列（LIS）的最小结尾
int L[N];            // [i]：以 i 点为结尾 LIS 的长度 
vector<int> G[N];    // LIS 长度桶 
LL sumi[N], sumj[N];   // [k]：i 到 k 全部改成 b[i] / b[j] 的代价 
LL dp[N];             // [i]：从虚拟起点到合法点 i 的最小总代价 int main () {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++) {cin >> a[i];b[i] = a[i] - i;}b[n + 1] = 1e9;   // 不一定所有最长不降子序列（LIS）的结尾都是 n// 为了所有非法段都能被处理到，加入一个所有 LIS 的结尾点 memset(mn_end, 0, sizeof(mn_end));int len = 0;     // mn_end 数组的当前长度 for (int i = 1; i <= n + 1; i ++) {int l = 0, r = len, p = 0;while (l <= r) {int mid = (l + r) >> 1;if (mn_end[mid] <= b[i]) {p = mid;l = mid + 1;}else {r = mid - 1;}}if (p == len) {len ++;      // 更新全局 LIS 长度 } mn_end[p + 1] = b[i];   // 长度为 p + 1 的 LIS 结尾最小值更新 // 如果 p + 2 也因为 i 可以被更新的更小，导致更新错误怎么办？// 答：不用担心// 假设后面有一个点 x，me[p + 1](new) < x < me[p + 2](new)// 并且 me[p + 2](old) < x < me[p + 3](old)// 这样会导致本应更新 p + 2 的 x 更新了 p + 3// 但很明显，不可能做到同时 < me[p + 2](new) 且 > me[p + 2](old)// 所以不用担心会更新错误 L[i] = p + 1;G[L[i]].push_back(i); }cout << n - len + 1 << "\n";  // 不合法点的数量，因为多算了一个 n + 1 memset(dp, 0x7f, sizeof(dp));    // 初始化最大值 G[0].push_back(0);          // 添加虚拟起点 b[0] = -1e9; dp[0] = 0;    // 保证所有点都能接它后面     for (int j = 1; j <= n + 1; j ++) {for (int i : G[L[j] - 1]) if (i < j && b[i] <= b[j]){sumi[i] = 0;for (int k = i + 1; k < j; k ++) {sumi[k] = sumi[k - 1] + abs(b[k] - b[i]);}sumj[j] = 0;for (int k = j - 1; k > i; k --) {sumj[k] = sumj[k + 1] + abs(b[j] - b[k]);}for (int k = i; k < j; k ++) {dp[j] = min(dp[j], dp[i] + sumi[k] + sumj[k + 1]);} }}cout << dp[n + 1] << "\n";return 0;
}

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