Fenwick 树进行快速统计
Fenwick 树（二叉索引树）是一种高效的数据结构，主要用于解决前缀和查询和单点更新问题，时间复杂度均为O(log n)，适用于需要频繁更新元素并查询前缀和的场景（如本题统计满足条件的对数）。
核心功能
Fenwick 树支持两种基本操作：
- 单点更新：给数组中某个位置的元素加上一个值。
- 前缀和查询：计算数组中前
k个元素的总和。
原理与结构
Fenwick 树的核心是利用二进制的特性（低位的1）来划分区间，实现高效的更新和查询。
结构特点：
- 树是1-based 索引（从 1 开始计数，方便二进制操作）。
- 每个节点
i负责管理一段区间，区间范围由i的二进制中最低位的 1决定（例如i=6的二进制是110，最低位的 1 对应的值是2，所以节点 6 管理[6-2+1, 6] = [5,6]）。
基本操作详解
1. 单点更新（update(i, delta)）
给位置i的元素增加delta。步骤：从i开始，不断加上i的二进制中最低位的 1（即i += i & -i），直到超过树的大小。作用：更新所有包含位置i的区间节点。
void update(int idx, int delta) {for (; idx <= size; idx += idx & -idx) {tree[idx] += delta;}
}
2. 前缀和查询（query(i)）
计算前i个元素的总和。步骤：从i开始，不断减去i的二进制中最低位的 1（即i -= i & -i），直到i=0，累加经过的节点值。作用：将前i个元素拆分成若干个被节点管理的区间，求和后得到前缀和。
int query(int idx) {int res = 0;for (; idx > 0; idx -= idx & -idx) {res += tree[idx];}return res;
}
在本题中的应用
在一个序列2n，1-n每个数都会出现两次，计算有多少对数的数，满足x1 < y1 < x2 < y2。
本题需要统计满足x1 < y1 < x2 < y2的数对数量：
- 先将非相邻数按
x1排序（确保处理顺序满足x1' < x1）。 - 对每个数的
x2进行坐标压缩（将分散的x2值映射到连续的小范围，节省空间）。 - 用 Fenwick 树记录已处理数的
x2，对于当前数的x2，通过query(x2-1)快速统计出之前所有x2' < 当前x2的数量（即满足x1' < x1 < x2' < x2的对数）。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Fenwick树（ Binary Indexed Tree ）用于高效统计
struct Fenwick {
int size;
vector<int> tree;
// 初始化大小为n的Fenwick树
Fenwick(int n) : size(n), tree(n + 2, 0) {} // 1-based索引
// 更新操作：在idx位置加delta
void update(int idx, int delta) {
for (; idx <= size; idx += idx & -idx) {
tree[idx] += delta;
}
}
// 查询操作：求[1, idx]的前缀和
int query(int idx) {
int res = 0;
for (; idx > 0; idx -= idx & -idx) {
res += tree[idx];
}
return res;
}
};
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int T;
cin >> T;
while (T--) {
int N;
cin >> N;
int len = 2 * N;
vector<int> A(len);
for (int i = 0; i < len; ++i) {
cin >> A[i];
}
// 记录每对夫妇的两个位置
vector<pair<int, int>> pos(N + 1); // pos[x] = (第一个出现位置, 第二个出现位置)
vector<int> first_occurrence(N + 1, -1);
for (int i = 0; i < len; ++i) {
int x = A[i];
if (first_occurrence[x] == -1) {
first_occurrence[x] = i; // 记录第一次出现位置
} else {
pos[x] = {first_occurrence[x], i}; // 记录第二次出现位置
}
}
// 筛选出原本不相邻的数
vector<pair<int, int>> S;
for (int x = 1; x <= N; ++x) {
auto [x1, x2] = pos[x];
if (x2 - x1 != 1) { // 相邻的条件是位置差为1
S.emplace_back(x1, x2);
}
}
// 按第一个位置x1排序（确保我们按顺序处理）
sort(S.begin(), S.end());
// 坐标压缩：将x2值映射到较小的范围，便于Fenwick树处理
vector<int> x2s;
for (auto [x1, x2] : S) {
x2s.push_back(x2);
}
sort(x2s.begin(), x2s.end());
x2s.erase(unique(x2s.begin(), x2s.end()), x2s.end()); // 去重
int m = x2s.size();
// 用Fenwick树统计符合条件的对数
Fenwick fenwick(m);
long long ans = 0;
for (auto [x1, x2] : S) {
// 找到x2在压缩后的排名（1-based）
int r = lower_bound(x2s.begin(), x2s.end(), x2) - x2s.begin() + 1;
// 查询当前有多少个x2' < x2（即满足交叉条件的数量）
ans += fenwick.query(r - 1);
// 将当前x2加入Fenwick树
fenwick.update(r, 1);
}
cout << ans << '\n';
}
return 0;
}