【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3 凯莱-哈密顿定理求解矩阵高次幂详解】

  凯莱-哈密顿定理为计算矩阵高次幂提供了一个强大而优雅的工具，能够避免繁琐的直接连乘计算。

一、核心思想

  凯莱-哈密顿定理指出：每个方阵都满足其自身的特征方程。

设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，其特征多项式为：$$p(\lambda )=\det (\lambda I-A)={\lambda }^n+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +c_1\lambda +c_0$$
则有：$$p(A)=A^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I=0$$
由此可得关键等式：$$A^n=-c_{n-1}{A}^{n-1}-c_{n-2}{A}^{n-2}-\cdots -c_{1}A-c_{0}I$$
重要推论：矩阵 $A$ 的任意高次幂 $A^m$ ($m\ge n$) 都可以表示为 $I,A,A^2,\dots ,A^{n-1}$ 的线性组合。

二、通用求解方法

方法一：递推法

  比较简单，前文已经说过：【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3 Cayley-Hamilton(凯莱-哈密顿)定理及其应用】

方法二：多项式除法法

步骤 1：确定特征多项式
计算 $p(\lambda )=\det (\lambda I-A)$，得到：$p(\lambda )={\lambda }^n+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +c_1\lambda +c_0$

步骤 2：执行多项式除法
将 ${\lambda }^m$ 除以特征多项式 $p(\lambda )$：${\lambda }^m=q(\lambda )\cdot p(\lambda )+r(\lambda )$

其中 $r(\lambda )$ 为余式，且 $\mathrm{deg}(r(\lambda ))<n$。

设余式为：$r(\lambda )=a_0+a_1\lambda +a_2{\lambda }^2+\cdots +a_{n-1}{\lambda }^{n-1}$

步骤 3：应用凯莱-哈密顿定理
由于 $p(A)=0$，代入得：$A^m=q(A)\cdot p(A)+r(A)=r(A)$
即：$A^m=a_{0}I+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots +a_{n-1}{A}^{n-1}$

三、实例演示

1. 案例一：计算 $A^5$

考虑矩阵：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$
目标：计算 $A^5$

• 步骤 1：求特征多项式 $p(\lambda )=\det \left(\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ -3& \lambda -4\end{array}\right)=(\lambda -1)(\lambda -4)-6={\lambda }^2-5\lambda -2$
  因此有：$A^2=5A+2I$

• 步骤 2：多项式除法，计算 ${\lambda }^5÷({\lambda }^2-5\lambda -2)$：
  通过长除法得到：${\lambda }^5=({\lambda }^3+5{\lambda }^2+27\lambda +145)({\lambda }^2-5\lambda -2)+(779\lambda +290)$
  余式为：$r(\lambda )=779\lambda +290$

• 步骤 3：代入矩阵 $A^5=779A+290I$

• 步骤 4：计算结果
  $779A=779\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}779& 1558\\ 2337& 3116\end{array}\right)$
  $290I=\left(\begin{array}{cc}290& 0\\ 0& 290\end{array}\right)$
  $A^5=\left(\begin{array}{cc}779& 1558\\ 2337& 3116\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}290& 0\\ 0& 290\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1069& 1558\\ 2337& 3406\end{array}\right)$

2. 案例二：计算 $A^{731}$

$A=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ 2& 1\end{array}\right)$,求 $A^{731}$。

方法一：利用特征值解线性方程组

• 步骤 1：求特征多项式
  $p(\lambda )=\det (\lambda I-A)=\det \left(\begin{array}{cc}\lambda -1& -\frac{1}{2}\\ -2& \lambda -1\end{array}\right)$
  $p(\lambda )=(\lambda -1{)}^2-1={\lambda }^2-2\lambda$
  特征值为：${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=2$

• 步骤 2：建立矩阵等式
  由凯莱-哈密顿定理（$m=731,n=2$），设：$A^{731}={\alpha }_{0}I+{\alpha }_{1}A$

• 步骤 3：建立标量方程，对每个特征值 ${\lambda }_i$，有：
  ${\lambda }_i^{731}={\alpha }_0+{\alpha }_1{\lambda }_i$
  对 ${\lambda }_1=0$：$0^{731}={\alpha }_0+{\alpha }_1\cdot 0⟹{\alpha }_0=0$
  对 ${\lambda }_2=2$：$2^{731}={\alpha }_0+{\alpha }_1\cdot 2$，代入 ${\alpha }_0=0$ 得：$2^{731}=2{\alpha }_1⟹{\alpha }_1=2^{730}$

• 步骤 4：得到结果
  $A^{731}=2^{730}A=2^{730}\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2}^{730}& 2^{729}\\ 2^{731}& 2^{730}\end{array}\right)$

方法二：递推法

$p(\lambda )=(\lambda -1{)}^2-1={\lambda }^2-2\lambda$，有凯莱哈密顿定理得，方阵$A$满足其特征方程，即：
$p(A)=A^2-2A=0⟹A^2=2A$
所以$A^{731}=730A$，带入$A$即可，比较简单。

四、核心优势

• 避免直接连乘：将 $O(m)$ 量级的乘法运算转化为 $O(n)$ 量级的线性组合

• 理论深刻：揭示了矩阵幂的有限维结构特性

• 应用广泛：为矩阵函数（如 $e^{At}$）的计算奠定基础：【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3.4 凯莱哈密顿定理求解矩阵指数 e^At】

五、应用技巧：

• 对于 $2\times 2$ 矩阵，递推法通常最快

• 对于 $3\times 3$ 及以上矩阵，建议使用多项式除法法

• 编程实现时，可预先计算余式系数，然后进行矩阵线性组合

  通过凯莱-哈密顿定理，我们成功地将一个看似复杂的矩阵高次幂计算问题，转化为熟悉的线性代数运算，体现了该定理在矩阵理论中的核心地位和实用价值。