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P3957 [NOIP 2017 普及组] 跳房子

news 2025/10/23 7:16:27

P3957 [NOIP 2017 普及组] 跳房子

题目背景

NOIP2017 普及组 T4

题目描述

跳房子，也叫跳飞机，是一种世界性的儿童游戏，也是中国民间传统的体育游戏之一。

跳房子的游戏规则如下：

在地面上确定一个起点，然后在起点右侧画 $n$ 个格子，这些格子都在同一条直线上。每个格子内有一个数字（整数），表示到达这个格子能得到的分数。玩家第一次从起点开始向右跳，跳到起点右侧的一个格子内。第二次再从当前位置继续向右跳，依此类推。规则规定：

玩家每次都必须跳到当前位置右侧的一个格子内。玩家可以在任意时刻结束游戏，获得的分数为曾经到达过的格子中的数字之和。

现在小 R 研发了一款弹跳机器人来参加这个游戏。但是这个机器人有一个非常严重的缺陷，它每次向右弹跳的距离只能为固定的 $d$ 。小 R 希望改进他的机器人，如果他花 $g$ 个金币改进他的机器人，那么他的机器人灵活性就能增加 $g$ ，但是需要注意的是，每次弹跳的距离至少为 $1$ 。具体而言，当 $g < d$ 时，他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 $d−g,d−g+1,d−g+2,…,d+g−1,d+gd-g,d-g+1,d-g+2,\ldots,d+g-1,d+g$ ；否则当 $\geq d$ 时，他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 $1,2,3,…,d+g−1,d+g1,2,3,\ldots,d+g-1,d+g$ 。

现在小 R 希望获得至少 $k$ 分，请问他至少要花多少金币来改造他的机器人。

输入格式

第一行三个正整数 $n, d, k$ ，分别表示格子的数目，改进前机器人弹跳的固定距离，以及希望至少获得的分数。相邻两个数之间用一个空格隔开。

接下来 $n$ 行，每行两个整数 $x_i,s_i$ ，分别表示起点到第 $i$ 个格子的距离以及第 $i$ 个格子的分数。两个数之间用一个空格隔开。保证 $x_i$ 按递增顺序输入。

输出格式

共一行，一个整数，表示至少要花多少金币来改造他的机器人。若无论如何他都无法获得至少 $k$ 分，输出 $- 1$ 。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

输入输出样例 #2

输入 #2

输出 #2

-1

说明/提示

样例 1 说明

花费 $2$ 个金币改进后，小 R 的机器人依次选择的向右弹跳的距离分别为 $ 2, 3, 5, 3, 4,3$，先后到达的位置分别为 $2, 5, 10, 13, 17, 20$ ，对应 $ 1, 2, 3, 5, 6, 7$ 这 $6$ 个格子。这些格子中的数字之和 $ 15$ 即为小 R 获得的分数。

样例 2 说明

由于样例中 $7$ 个格子组合的最大可能数字之和只有 $18$ ，所以无论如何都无法获得 $20$ 分。

数据规模与约定

本题共 10 组测试数据，每组数据等分。

对于全部的数据满足 $\le n \le 5\times10^5$ ， $\le d \le2\times10^3$ ， $\le x_i, k \le 10^9$ ， $s_i| < 10^5$ 。

对于第 $1, 2$ 组测试数据，保证 $n≤10n\le 10$ 。

对于第 $3, 4, 5$ 组测试数据，保证 $\le 500$ 。

对于第 $6, 7, 8$ 组测试数据，保证 $d = 1$ 。

思路

1.n格子的数目
2.d一次弹跳的距离
3.k是至少要获得的分数（多了当然也可以，不能少），就是跳到格子的数字的和
4.只能往右跳
5.问题：g金币改动弹跳的范围,跳动距离选择面变广，max(d-g,1)<=x<=d+g
6.金币够，能跳任意距离，就能达更多的格子，得到更多的格子和
这单调递增，有序，可以二分找O(logs)
7.有了金币数，跳动范围，就可以算到达每个点的格子和，
f[i]=f[j]+v[i]
双循环就能动态规划算出最大格子和O(n^2),超时
8. 单调队列只留下前序最大格子和，可以O(n)
f[i]=q[l]+v[i]
单调队列降序留存能达i的前序格子和

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;//格子数量上限 
const long long inf=1e18; //表示"不可达"的极限值 
struct node{//格子的结构体，没有构造函数，叫聚合类型 int w,//格子距离起点的位置 v;//格子的分数 
}ge[N];//存储所有格子的数组 
int n,//格子总数 d,//机器人初始的固定跳跃距离 k;//目标分数(至少要获得的分数)
long long f[N],//动态规划状态，到达第i个格子时能获得的最大分数 q[N],//单调队列，保持降序，用来找到最大值(到i点的最大分数,源自f[i])。 qw[N],//单调队列，i元素对应的位置，用来判断(单调队列的区间)qw[x]+mind<=i<=qw[x]+maxdhe;//所有格子的最大和(用于判断无解)
bool check(int g){//用来判断，当跳动距离的改动范围是g时，能跳到的格子的和是否>=k int mind=max(1,d-g),maxd=d+g;//mind不是变动范围，而是实际跳跃数，不能是0，否则原地 //机器人从 x 跳到 i，跳跃距离是「i 的位置 - x 的位置」，这个距离必须在 [mind, maxd] 范围内 int l=0,r=-1,//单调队列的首尾指针 x=0;//i的前序，要达i(用来入队，只遍历一次) f[0]=0;//0起点设了就可以 //memset(f,0xcf,sizeof(f));//除了0起点外所有格子都不可达,//memset(f,0,sizeof(f));这样也可以，除了0外其他无所谓，动态规划新得for(int i=1;i<=n;i++){//遍历所有格子，动态规划O(n^2)计算到达该格子的最大分数。//单调队列，能达i点的前序x从队尾入队，替代前面小的格子和，保持队列降序。队首总是最大值，意义在于不二过，O(n) for(;x<=i&&ge[x].w+mind<=ge[i].w;x++){//可达:x的位置+最小跳跃距离<=i的位置(<=x的位置+最大跳跃距离) if(f[x]<=-inf)continue;//-inf表示不可达，不能入队。若入队，再碰到inf的格子，数字上变成可达 while(l<=r&&q[r]<=f[x])r--;//清除小于x的队尾,维护单调队列降序q[++r]=f[x],qw[r]=ge[x].w; //入队。该队列中元素对下个i可能也能用上 } //单调队列清队首不达i的格子，现在用不上往后也用不上 while(l<=r&&qw[l]+maxd<ge[i].w)l++;//超出最大跳跃距离 if(l<=r)f[i]=q[l]+ge[i].v;//动态转移方程。队首q[l]就是能跳到i的最大格子和+i格子数。后面要入队。q是i前的f，f是q算出来的 else f[i]=-inf;//队列没有有效元素，无法跳到i if(f[i]>=k)return 1;}return 0;//做不到 
} 
int main(){//freopen("data.cpp","r",stdin);cin>>n>>d>>k;for(int i=1;i<=n;i++){//0是起点，第一个格子是1 cin>>ge[i].w >>ge[i].v;if(ge[i].v>0)he+=ge[i].v;//累加正分数，用于快速判断无解 }if(he<k){cout<<-1;return 0;}//无解，无法得到k//金币数、跳动距离改动范围越大能选择的格子越多，格子和就越大，正比关系，有序，可以二分 int l=0,r=ge[n].w,m;//查找能跳到的格子的和大于等于(至少)k的跳动距离的改动范围g的最小值，也就是最少金币数while(l<r){//最后重合的位置就是最少的值 m=(l+r)>>1;if(check(m))r=m;//m可行，m上不要 else l=m+1;//不可行，m以左不要//始终在范围内，只是范围缩小了 }cout<<l;//l和r都是满足条件的第一个首元素(至少) return 0;
}