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数据结构——广度优先搜索

news 2025/10/22 15:39:13

要实现图的“分层遍历”，广度优先搜索（BFS）是核心方法——它遵循“先访问离起始顶点近的顶点，再逐步向外扩散”的逻辑，像水波纹一样覆盖所有可达顶点。下面从思想、过程、实现和特点展开，结合图示详细讲解。

广度优先搜索

图的遍历需要按规则访问所有顶点，广度优先搜索（BFS）的核心是“分层探索、逐层扩散”，是探索图结构的另一种基础方法。

1. 广度优先搜索的基本思想

广度优先搜索的逻辑可以类比“洪水蔓延”：从起始顶点（洪水源头）出发，先淹没与源头直接相邻的所有顶点（第一层）；再从这些顶点出发，淹没它们的邻接顶点（第二层）；以此类推，直到所有可达顶点都被“淹没”（访问）。具体到图中，就是从起始顶点出发，先访问该顶点，再依次访问它的所有未访问邻接顶点；然后对这些邻接顶点，再依次访问它们的未访问邻接顶点，直到所有顶点都被访问。

2. BFS的遍历过程（结合图示分析）

以提供的广度优先搜索过程图为例，假设从顶点 $V_1$ 开始遍历，整个过程可拆解为“分层访问”的阶段：

第0层（起始层）：访问 $V_1$ （标记为已访问），将其加入队列，作为遍历的起点。
第1层（直接邻接层）：从队列中取出 $V_1$ ，访问其所有邻接顶点 $V_2$ 和 $V_3$ （标记为已访问），并将 $V_2$ 、 $V_3$ 加入队列。
第2层（次邻接层）：从队列中取出 $V_2$ ，访问其所有未访问邻接顶点 $V_4$ 、 $V_5$ （标记为已访问），并将 $V_4$ 、 $V_5$ 加入队列；接着取出 $V_3$ ，访问其所有未访问邻接顶点 $V_6$ 、 $V_7$ （标记为已访问），并将 $V_6$ 、 $V_7$ 加入队列。
第3层（更外层）：从队列中取出 $V_4$ ，访问其未访问邻接顶点 $V_8$ （标记为已访问），并将 $V_8$ 加入队列；取出 $V_5$ ，访问其邻接顶点（若有未访问的）；取出 $V_6$ ，访问其邻接顶点；取出 $V_7$ ，访问其邻接顶点。
第4层及后续：从队列中取出 $V_8$ ，访问其邻接顶点 $V_4$ （已访问）、 $V_5$ （已访问）等，直到队列空，遍历结束。

图中顶点的层级关系清晰体现了“逐层扩散”的特点： $V_1$ 是第0层， $V_2、V_3$ 是第1层， $V_4、V_5、V_6、V_7$ 是第2层， $V_8$ 是第3层，严格遵循“先访问近的顶点，再访问远的顶点”的逻辑。

3. BFS的实现方式

BFS的实现依赖队列（先进先出的特性，保证“分层访问”的顺序），主要有“队列模拟”的非递归实现（递归实现不符合BFS的分层逻辑，一般不采用）。

（1）队列模拟的实现
以邻接表存储的图为例，代码框架如下（类C语言）：

// 假设图的邻接表结构为：顶点数组+弧结点，visited数组标记顶点是否已访问
typedef struct {VNode vertices[MAX_VERTEX_NUM]; // 顶点数组int vexnum, arcnum;             // 顶点数和弧数
} Graph;void BFS(Graph G, int start, bool visited[]) {Queue Q;InitQueue(&Q);  // 初始化队列visited[start] = true; // 标记起始顶点为已访问EnQueue(&Q, start);    // 起始顶点入队printf("访问顶点：%d\n", start); // 访问顶点（可替换为业务操作）while (!QueueEmpty(Q)) {int v = DeQueue(&Q); // 取出队首顶点// 遍历v的所有邻接顶点，将未访问的入队并标记for (ArcNode *p = G.vertices[v].firstarc; p != NULL; p = p->nextarc) {int w = p->adjvex;if (!visited[w]) {visited[w] = true;EnQueue(&Q, w);printf("访问顶点：%d\n", w); // 访问邻接顶点}}}
}// 调用入口：初始化visited数组，处理非连通图（多个连通分量）
void BFSTraverse(Graph G) {bool visited[MAX_VERTEX_NUM] = {false}; // 初始化所有顶点为未访问for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {if (!visited[i]) {BFS(G, i, visited); // 对每个未访问的顶点，启动BFS}}
}

队列实现的核心是“先入队的顶点先处理，其邻接顶点后入队”，严格保证了“分层遍历”的顺序——同一层的顶点会在队列中集中处理，体现了BFS“广度优先”的特性。

4. BFS的复杂度与特点

时间复杂度：
- 若图用邻接表存储，每个顶点和每条边都被访问一次，时间复杂度为 $O (n + e)$ （ $n$ 为顶点数， $e$ 为边数）；
- 若图用邻接矩阵存储，需遍历每个顶点的所有邻接顶点，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
空间复杂度：
主要消耗在队列上，最坏情况下（如完全图，起始顶点的邻接顶点数为 $n - 1$ ）队列需存储 $n - 1$ 个顶点，空间复杂度为 $O (n)$ 。
核心特点：
- 能高效解决“无权图的最短路径”问题（因为是分层遍历，第一次访问某顶点时的路径就是最短路径）；
- 遍历路径不唯一（邻接顶点的选择顺序不同，遍历序列不同），但都遵循“分层扩散”的核心逻辑；
- 仅能通过队列实现（递归无法体现分层逻辑），代码逻辑清晰，适合处理“按层探索”的场景。