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数据结构——十字链表

news 2025/10/22 14:01:00

为了同时高效处理有向图的“出弧”和“入弧”操作，十字链表作为有向图的链式存储结构，融合了“出弧链表”与“入弧链表”的特性，能便捷地管理顶点的出度和入度。

十字链表是专门为有向图设计的链式存储结构，它通过“顶点结点 + 弧结点”的组合，同时维护“以顶点为弧尾的出弧”和“以顶点为弧头的入弧”，让有向图的入度、出度操作都能高效执行。

十字链表包含两种结点：弧结点（存储有向弧的信息）和顶点结点（存储顶点的信息及弧的连接入口）。

（1）弧结点
弧结点用于存储有向图的一条弧，包含5个域：

（2）顶点结点
顶点结点用于存储顶点的基本信息及弧的连接入口，包含3个域：

图6.9展示了有向图的十字链表表示，我们以图中结构为例，拆解存储逻辑：

图6.9(a)是有向图，包含顶点( V_1、V_2、V_3、V_4 )，弧的关系为：( V_1→V_2 )、( V_1→V_4 )、( V_3→V_1 )、( V_3→V_4 )、( V_4→V_3 )、( V_2→V_4 )（假设补充该弧，或按图中实际连接分析）。
图6.9(b)是其十字链表表示：
- 顶点结点按顺序存储（( V_1 )对应下标0，( V_2 )对应1，( V_3 )对应2，( V_4 )对应3）。
- 顶点( V_1 )（下标0）的firstout指向弧结点( (0,1) )（弧尾0即( V_1 )，弧头1即( V_2 )），该弧的tlink指向弧结点( (0,3) )（弧尾0，弧头3即( V_4 )），表示( V_1 )的出弧为( V_1→V_2 )和( V_1→V_4 )；
- 顶点( V_3 )（下标2）的firstout指向弧结点( (2,0) )（弧尾2即( V_3 )，弧头0即( V_1 )），该弧的tlink指向弧结点( (2,3) )（弧尾2，弧头3即( V_4 )），表示( V_3 )的出弧为( V_3→V_1 )和( V_3→V_4 )；
- 顶点( V_4 )（下标3）的firstout指向弧结点( (3,2) )（弧尾3即( V_4 )，弧头2即( V_3 )），表示( V_4 )的出弧为( V_4→V_3 )；同时，弧结点( (0,3) )的hlink指向弧结点( (2,3) )（弧头3相同），表示以( V_4 )为弧头的入弧有( V_1→V_4 )和( V_3→V_4 )；
- 顶点( V_2 )（下标1）的firstout指向弧结点( (1,3) )（弧尾1即( V_2 )，弧头3即( V_4 )），表示( V_2 )的出弧为( V_2→V_4 )。

通过hlink和tlink的串联，十字链表将“同弧头的入弧”和“同弧尾的出弧”分别组织成链表，让入度、出度的遍历都能高效进行。

十字链表的设计让有向图的入度、出度操作都具备高效性，其核心特点如下：

（1）操作效率

求顶点的出度：遍历该顶点firstout指向的tlink链，时间复杂度为( O(d_{\text{out}}) )（( d_{\text{out}} )为出度）；
求顶点的入度：遍历该顶点firstin指向的hlink链，时间复杂度为( O(d_{\text{in}}) )（( d_{\text{in}} )为入度）；
增删弧：只需在对应hlink或tlink链中插入、删除弧结点，时间复杂度为( O(1) )（找到位置后）。

（2）空间复杂度
十字链表的空间复杂度为( O(n + e) )（( n )为顶点数，( e )为弧数），与邻接表相当，但功能更全面。

（3）适用场景
十字链表特别适合需要同时处理入度和出度的有向图应用，例如：