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UVa 11020 Efficient Solutions

news 2025/10/22 13:41:32

题目描述

$CentauriPrime\texttt{Centauri Prime}$ 的公主是今年银河系最抢手的单身女性。许多求婚者在皇宫前排起长队，希望能有 $5$ 分钟的时间来打动她。每位绅士在 $5$ 分钟后会被皇宫守卫带出皇家房间，公主会根据他的家世和魅力给出两个分数。在 $CentauriPrime\texttt{Centauri Prime}$ ，分数越低越好。

对于两位绅士 $A$ 和 $B$ ，公主分别给出分数 $L_A, C_A)$ 和 $L_B, C_B)$ 。如果满足以下条件之一，则称 $B$ 支配 $A$ ：

$L_B < L_A$ 且 $CB≤CAC_B \leq C_A$ ，或者
$LB≤LAL_B \leq L_A$ 且 $C_B < C_A$

换句话说，如果 $B$ 在至少一个维度上严格优于 $A$ ，且在另一个维度上不差于 $A$ ，则 $B$ 支配 $A$ 。

公主维护着一个有效求婚者列表，其中包含所有目前未被任何已见到的绅士支配的绅士。每次新的 $5$ 分钟会面后，她都会更新这个列表。

给定求婚者队列和公主给他们的分数，确定每次更新后有效列表的大小。

输入格式

第一行：测试用例数量 $N$ ( $0 < N < 40$ )
每个测试用例：
- 第一行：队列大小 $n$ ( $\leq n \leq 15000$ )
- 接下来 $n$ 行：每行两个整数（范围 $0, 10^9]$ ），表示家世和魅力分数

输出格式

对于每个测试用例：

输出一行 Case #z:
接下来 $n$ 行，第 $i$ 行包含第 $i$ 次更新后有效列表的大小
测试用例之间输出一个空行

题目分析

问题本质

这是一个典型的 $Pareto\texttt{Pareto}$ 最优维护问题。我们需要动态维护一个二维点的集合，使得集合中任意两点都不存在支配关系。

支配关系理解

支配关系的定义可以简化为：点 $B$ 支配点 $A$ 当且仅当：

$B$ 在两个维度上都不比 $A$ 差，且
至少在一个维度上严格优于 $A$

数学表达为：
$CB<CA)(L_B \leq L_A \ \text{且} \ C_B \leq C_A) \ \text{且} \ (L_B < L_A \ \text{或} \ C_B < C_A)$

算法设计思路

数据结构选择：使用 multiset 存储有效点，按家世分数升序排序，家世相同时按魅力分数升序排序。
新点处理流程：
- 检查是否被支配：对于新点 $(L, C)$
  - 检查前一个点（家世 $≤L\leq L$ ）是否支配新点
  - 检查同家世的点是否支配新点
- 如果未被支配：
  - 插入新点
  - 删除所有被新点支配的点
复杂度分析：
- 每个点最多被插入一次、删除一次
- multiset 操作时间复杂度为 $O(log⁡n)O(\log n)$
- 总体复杂度 $\log n)$ ，对于 $\leq 15000$ 是可接受的

关键难点

重复点处理：必须使用 multiset 而非 set，因为可能存在多个相同的点
支配检查的完整性：需要同时检查家世较小和家世相同的点
高效删除：利用集合的有序性，只检查可能被支配的点

算法实现细节

支配检查

对于新点 $(L, C)$ ：

找到第一个家世 $≥L\geq L$ 的点 it
检查 prev(it) 是否支配新点（家世 $≤L\leq L$ 且魅力 $≤C\leq C$ ，且至少一个严格小于）
检查同家世的点是否支配新点（魅力严格小于）

删除被支配点

插入新点后：

从新点的下一个位置开始遍历
删除所有满足家世 $≥L\geq L$ 且魅力 $≥C\geq C$ ，且至少一个严格大于的点

参考代码

// Efficient Solutions
// UVa ID: 11020
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-21
// UVa Run Time: 0.820s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int main() {ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);int N;cin >> N;for (int caseNum = 1; caseNum <= N; caseNum++) {int n;cin >> n;multiset<pair<int, int>> efficient;  // 存储有效点，按家世升序，家世相同时按魅力升序vector<int> result;  // 存储每次更新后的结果for (int i = 0; i < n; i++) {int L, C;cin >> L >> C;pair<int, int> p = {L, C};// 检查新点是否被支配auto it = efficient.lower_bound({L, INT_MIN});  // 找到第一个家世>=L的点bool dominated = false;// 检查前一个点（家世<=L）是否支配新点if (it != efficient.begin()) {auto prev = it;--prev;if (prev->first <= L && prev->second <= C) {  // 前一个点两个维度都不比新点差if (prev->first < L || prev->second < C) {  // 且至少一个严格优于dominated = true;}}}// 检查同家世的点是否支配新点if (!dominated) {while (it != efficient.end() && it->first == L) {if (it->second < C) {  // 同家世但魅力更优dominated = true;break;}++it;}}// 如果被支配，跳过插入if (dominated) {result.push_back(efficient.size());continue;}// 插入新点efficient.insert(p);// 删除所有被新点支配的点it = efficient.upper_bound(p);  // 从新点的下一个开始while (it != efficient.end()) {if (it->first >= L && it->second >= C) {  // 当前点两个维度都不比新点差if (it->first > L || it->second > C) {  // 且新点至少一个严格优于it = efficient.erase(it);  // 删除被支配的点} else {++it;  // 完全相同，保留}} else {++it;  // 不被支配，继续检查}}result.push_back(efficient.size());}// 输出结果cout << "Case #" << caseNum << ":\n";for (int sz : result) {cout << sz << "\n";}if (caseNum < N) {cout << "\n";}}return 0;
}