数据结构——最短路径算法

在带权图中，“最短路径”指的是从一个顶点到另一个顶点的路径中，边的权值之和最小的路径。根据需求不同，最短路径问题可分为“单源最短路径”（从一个固定源点到其他所有顶点的最短路径）和“各顶点间最短路径”（任意两个顶点间的最短路径），对应的经典算法分别是Dijkstra算法和Floyd算法。

1. Dijkstra算法：单源最短路径

Dijkstra算法用于求解带权有向图（或无向图）中从一个固定源点到其他所有顶点的最短路径，要求图中边的权值非负（若存在负权边，算法可能失效）。其核心思想是“贪心策略”：从源点出发，逐步确定到各顶点的最短路径，每次选择“当前已知最短路径的顶点”，以此为中间点更新其他顶点的路径长度。

（1）算法思想的直观理解
可以将求解过程类比“水波扩散”：源点是起点，第一次扩散到与其直接相连的顶点，记录初始路径长度；之后每次从“已确定最短路径的顶点”出发，扩散到其邻接顶点，若通过该顶点到达邻接顶点的路径比当前已知路径更短，则更新路径长度；重复此过程，直到所有顶点的最短路径都被确定。

（2）过程分析（结合图示）
我们用一个带权有向图为例，顶点为$v_0,v_1,v_2,v_3,v_4$，源点为$v_0$，边权如图所示（用mermaid绘制如下）：