模重复平方计算法

1. 问题背景：

• 计算 bⁿ mod m，其中 n 是非负整数，b 和 m 是给定的。

• n 被表示为二进制形式：n = n₀ + n₁·2 + ⋯ + nₖ₋₁·2ᵏ⁻¹，其中 nᵢ ∈ {0, 1}。

2. 算法核心：

• 使用平方-乘法（Square-and-Multiply）算法，通过逐步计算幂的模值来优化。

• 公式：bⁿ = bⁿ⁰ · (b²)ⁿ¹ · ⋯ · (b²ᵏ⁻²)ⁿᵏ⁻² · (b²ᵏ⁻¹)ⁿᵏ⁻¹ mod m

• 逐步计算 b 的幂并取模，避免直接计算大指数。

3. 计算步骤：

• 初始化：a₀ = bⁿ⁰ mod m，b₁ = b² mod m

• 迭代：对于 i = 1 到 k - 1，计算 aᵢ = aᵢ₋₁ · bᵢⁿⁱ mod m，并更新 bᵢ₊₁ = bᵢ² mod m

• 最终结果：aₖ₋₁ 就是 bⁿ mod m

4. 时间复杂度：

• 算法时间复杂度为 O(log₂ n)，因为它基于 n 的二进制表示的位数。

5. 具体算法如下：

• 设 a = 1，并将 n 的二进制位从低到高处理。

• 如果某位为 1，则乘以当前 b 的幂并取模。

• 每次循环，b 平方并取模。

• 最后，a 就是结果。

6.举例

        设 b = 3, n = 11, m = 7

        目标：计算 3¹¹ mod 7

步骤1: 将 n 转换为二进制

        11 的二进制表示是 1011, 即：

        n₀ = 1，n₁ = 1，n₂ = 0，n₃ = 1

        所以 11 = 1·2⁰ + 1·2¹ + 0·2² + 1·2³

步骤2: 初始化

        设 a = 1 (初始结果)

        设 b_current = 3 (初始底数)

步骤3: 按位处理

从 n 的最低位到最高位，逐位计算：

1. 位 0 (n₀ = 1)：
   • a = a · b_currentⁿ⁰ mod m = 1 · 3¹ mod 7 = 3
   • b_current = b_current² mod m = 3² mod 7 = 9 mod 7 = 2

2. 位 1 (n₁ = 1)：
   • a = a · b_currentⁿ¹ mod m = 3 · 2¹ mod 7 = 3 · 2 mod 7 = 6 mod 7 = 6
   • b_current = b_current² mod m = 2² mod 7 = 4 mod 7 = 4

3. 位 2 (n₂ = 0)：
   • a = a · b_currentⁿ² mod m = 6 · 4⁰ mod 7 = 6 · 1 mod 7 = 6 (因为 n₂ = 0 不需要乘)
   • b_current = b_current² mod m = 4² mod 7 = 16 mod 7 = 2

4. 位 3 (n₃ = 1)：
   • a = a · b_currentⁿ³ mod m = 6 · 2¹ mod 7 = 6 · 2 mod 7 = 12 mod 7 = 5

步骤4: 结果

        最终 a = 5，所以 3¹¹ mod 7 = 5