欧几里得算法（Euclidean Algorithm）：求最大公约数的经典方法

欧几里得算法是计算两个非负整数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称 GCD） 的高效算法，核心思想是 “辗转相除”，其历史可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》（第 7 卷），是算法设计中 “迭代 / 递归思想” 的经典范例。

一、核心原理

1. 关键定理（算法基石）

对任意两个非负整数 a 和 b（假设 a≥b），满足：gcd(a,b)=gcd(b,amodb)其中 amodb 表示 a 除以 b 的余数（余数取值范围：余数）。

2. 终止条件

当余数为 0 时，此时的除数 b 就是原来两个数的最大公约数。例：若 amodb=0，则 gcd(a,b)=b（因为 b 能整除 a，且 b 是自身的最大约数）。

3. 直观理解（以具体例子说明）

求 gcd(48,18)：

• 第一步：48mod18=12（48 = 18×2 + 12），因此 gcd(48,18)=gcd(18,12)；
• 第二步：18mod12=6（18 = 12×1 + 6），因此 gcd(18,12)=gcd(12,6)；
• 第三步：12mod6=0（余数为 0），终止迭代，此时除数 6 就是 gcd(48,18)。

public class EuclideanAlgorithm {public static int gcdIter(int a, int b) {a = Math.abs(a);b = Math.abs(b);while (b != 0) {int temp = b;b = a % b;a = temp;}return a;}public static void main(String[] args) {System.out.println(gcdIter(48, 18)); // 6System.out.println(gcdIter(0, 5));   // 5}
}