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前缀函数的运用

KMP

在字符串中查找子串，本质是对前缀函数的运用。

例题1

给定一个文本串 $t$，和一个模板串 $s$，找出 $s$ 在 $t$ 中出现的所有位置。

题解

构造一个字符串 $h=s+\#+t$，$h$ 由 三个部分 组成，第一个部分是模板串 $s$，第二个部分是一个在 $s$ 和 $t$ 中都不会出现 的字符 $\#$，第三部分是文本串 $t$。

可以对 $h$ 跑一遍前缀函数，然后所有前缀函数大小为 s.size() 的位置就是 $s$ 完整在文本串中出现且 $s$ 的 最后一个字符 所处的位置。

由于 $h$ 有偏移，所以得到的位置应该减去 2*s.size()-1。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#pragma GCC optimize(2)
#define int long long
#define endl '\n'
#define PII pair<int,int>
#define INF 1e18
const int N = 1e6 + 7;struct PrifixFunction {int n;string s;vector <int> p;PrifixFunction (int _n, string _s) : s(_s), n(_n), p(_n + 1){}void getPrifixFunction () {p[0] = 0;for (int i = 1; i < n; i++) {int j = p[i - 1];while (j && s[j] != s[i]) {j = p[j - 1];}if (s[j] == s[i]) j ++;p[i] = j;}}
};void solve () {string t, s;cin >> t >> s;string h = s + "#" + t;PrifixFunction pp(h.size(), h);pp.getPrifixFunction();vector <int> ans;for (int i = 0; i < h.size(); i++) {if (pp.p[i] == s.size()) ans.push_back(i - 2*s.size() + 1);}for (auto i : ans) cout << i << endl;
}
signed main() {solve();
}

字符串的周期

对于字符串 $s$，若 $s$ 存在周期 $T(1\le T\le |s|)$，则对于所有的 $i\in [0,|s|-T-1]$ 都有 $s[i]=s[i+T]$。

不难发现，若存在一个子串 $r$，既是 $s$ 的一个 真前缀，又是 $s$ 的一个 真后缀，那么 $s$ 一定有周期 $t=|s|-|r|$。

因为 $i+t\le |s|-1$，当 $i$ 取 最大值 的时候，该不等式取等号，而 $i$ 至多只能到 $|r|-1$，所以 $t=|s|-|r|$。

又因为这样的 $r$ 的长度最大不超过 $\pi (|s|-1)$，所以我们就说 $s$ 的最小周期是 $\pi (|s|-1)$。

统计每个前缀的出现次数

例题1

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$，统计 $s$ 的每个前缀在 $s$ 中的出现次数。

题解

若存在一个子串 $r$，既是 $s$ 的一个 真前缀，又是 $s$ 的一个 真后缀，那么我们就称 $r$ 是 $s$ 的一个 $border$。

设 $x$ 是 $s$ 的真前缀，如果 $x$ 在 $s$ 中出现了一次以上，那么必然能截取出一个子串 $t$，使得 $x$ 是 $t$ 的 $border$。

所以我们对于每个子串 $s[\mathrm{0...}i]$，求出其所有的 $border$ 并进行累加即可。

如果一个长度为 $len$ 的 $border$ 出现了 $x$ 次，那么不管子串多长 $p[len-1]$ 都是仅次于 $len$ 的 $border$。

所以一个长度为 $len$ 的 $border$ 的出现次数，也代表了一部分 $p[len-1]$ 的贡献。

我们先记录每个子串最大长度的 $border$ 出现次数，然后倒序累加就行了。

随后别忘记加上前缀自身出现的一次。

vector<int> p(n);
vector<int> cnt(n + 1, 0); // cnt[i] 表示长度为 i 的前缀出现次数// 1. 计算前缀函数
for (int i = 1; i < n; i++) {int j = p[i - 1];while (j && s[j] != s[i]) j = p[j - 1];if (s[j] == s[i]) j++;p[i] = j;
}// 2. 统计每个长度的出现次数（不含自己作为前缀的那一次）
for (int i = 0; i < n; i++) cnt[p[i]]++;// 3. 把出现次数沿着 border 链上传递
for (int len = n; len > 0; len--) {cnt[p[len - 1]] += cnt[len];
}// 4. 每个前缀本身出现一次
for (int i = 1; i <= n; i++) cnt[i]++;

例题2

求 $s$ 中的每个前缀在 $t$ 中出现的次数。

题解

构造一个字符串 $h=s+\#+t$，其中 $\#$ 是不在 $s$ 和 $t$ 中存在的字符。

接下来我们就用例题 $1$ 的求法，求出 $h$ 的每个前缀在自身中出现的次数。

然后我们再对 $s$ 这个字符串单独计算一遍其每个前缀在自身中出现的次数。

将两个数组相减即可。

当我们需要用的时候，将它们封装到结构体里就行了。

求 $s$ 中本质不同子串的数量

例题1

求 $s$ 中本质不同子串的数量。

题解

考虑迭代的做法，设 $k$ 是当前的 $s$ 中本质不同的子串的数量，若在 $s$ 后面增加一个字符 $c$，记作 $s_1$。

那么最多增加 $|s|+1$ 个本质不同的子串，且这些子串都是以 $c$ 结尾的。

此时我们可以将当前字符串 $s_1$ 反转，设为 $s_1^T$，对其跑一遍前缀函数。

然后求出 $s_1^T$ 的每个前缀在自身中出现多少次，那些只出现一次的就是增加的本质不同的子串。

求出 $s_1^T$ 中只出现一次的前缀，就相当于找出最大的 $\pi$ 值，最大的 $\pi$ 值表示前缀的字符串到哪里开始不重复出现。

所以只出现一次的前缀数量就相当于 $|s|+1-{\pi }_{max}$。