红黑树详解

红黑树

红黑树性质

1. 每个节点要么是黑色，要么是红色；
2. 根节点是黑色；
3. 每个叶子节点是黑色；
4. 每个红色节点的两个子节点一定是黑色；
   不能有两个红色节点相连；
5. 任意一节点到每个叶子节点的路径都包含数量相同的黑节点；
   如果一个节点存在黑子节点，那么该结点肯定有两个子节点；

看看下面三个例子

例一，显然不满足根节点是黑色

例二，将例一中所有节点的红黑颜色反转，现在就没有问题了

例三，他不满足红黑树的点是55节点，以55节点为根节点的红黑树不满足“黑高”性质，他只有左节点为黑色，没有右节点

红黑树的效率

查找：红黑树是平衡二叉树，满足二叉树的性质，同时红黑树自平衡，在插入/删除时都会执行平衡操作以保证树高，所以搜索效率是O(logn)

插入/删除：平均每次都会执行旋转和变色操作，但正是因为旋转变色以自平衡保证树高，所以插入删除也只需要执行O(logn)的搜索然后进行O(1)的其他操作，平均还是O(logn)

注意：正是因为有子平衡操作，即使按顺序插入节点，红黑树也不会退化成链表

红黑树的等价变化

首先看下面这个红黑树，他满足所有的五条规则

如果将上面图片中所有的红节点与他的父节点合并，可以得到下面图片

然后将上面的多节点合并成一个节点，就可以得到下面的四叉树，四叉B树，也叫2-3-4树

由此，可以得出下面结论

1. 红黑树与四阶B树具有等价性；
2. 黑色节点与他的红色节点融合在一起，形成一个B树节点；
3. 红黑树的黑色节点个数与四阶B树的节点总个数相等，因为所有红色节点合并到黑色节点中了；
4. 在所有的B树节点中，永远是黑色节点是父节点，红色节点是子节点，黑色节点在中间，红色节点在两边；

本文后面的图片中所绘制的红黑树都是按照B树绘制的

红黑树的操作

旋转操作

左旋

下图中，对P节点进行左旋，就是将P节点转到下边，P节点的右子节点V节点转到上边，P节点值小于V节点，成为V节点新的左子节点，V节点原本的左子节点R大于P节点，成为P节点新的右子节点

右旋

对P节点执行右旋，P节点转到下边去，P节点的左子节点F节点转上来。P节点成为F新的右子节点，F节点原本的右子节点K成为P的新左子节点

红黑树添加

1. 新插入的节点是红色的。如果插入黑色节点，一定会打破红黑树那一条分支的平衡，再调整开销会很大

问题分析

1. 黄色提到的问题，以最左侧红黑红节点为例，因为红色节点没有权利新开一个节点或新开一层，所以新节点应该和46节点在一起，导致溢出；
2. 红色提到的问题，在黑红或者红黑场景下，新插入一个节点不会导致溢出，但如果这个节点是插在红色节点下的，会导致红色和红色相连；
3. 绿色的，在黑色节点下插入一个红色节点并且没有导致溢出，是完全没有问题的；

插入问题的处理

1、LL和RR，红红相连但无溢出

以RR为例

1. 刚插入85的时候，是76->82->85，然后82和85红红相连，一个平衡的“三节点”应该是红黑红，同时大小关系也是红<黑<红；
2. 即82应该成为中间的节点，同时82变成黑色，76变成红色，76和85分别做82的左右子节点，最后让55的箭头指向82，也就是变色之后对76执行一次左旋；

2、LR和RL，红红相连无溢出

以RL为例

1. 从四叉树的角度来看，和上面的RR很类似，刚插入80时是76->82->80，82和80红红相连，所以最终的结果还是76、80、82这三个数中，中间的放在中间，变成黑色，另外两个为红色，所以最终是80在中间，改成黑色，76和82分别做左右子节点，都是红色；

2. 具体操作，首先对82执行一次右旋，就变成了RR双红的情况；
   

3. 再对76执行一次左旋；

3、插入导致B树节点上溢出

1. 在一个红黑红的满载节点上，新插入一个红色节点，导致该节点超载；

2. 首先，对“红黑红”节点进行染色，将46改成红色，将40和50改成黑色，之后将红色节点向上提到父节点那一层；
   

3. 现在从46节点出发，下面的节点都符合条件了；

4. 红色节点向上提之后，将这个红色节点视为一个新插入的节点，考虑将他插入到父节点中，然后继续操作，即递归判断是否符合条件；

5. 观察发现，现在46的父节点也是红黑红的满载状态，46的加入使其超载，刚好和20节点的插入一样，所以递归执行一样的操作，将88节点染红，55和100染黑，然后将88节点上提；

6. 最后，继续对上提的88节点判断，发现现在88节点作为根节点，所以88需要再次染黑；

   

红黑树删除

前言

普通二叉树的删除

底层节点的删除

直接删除，没有影响

非底层节点

找左子树最大或右子树最小来代替自己，最后删除底层节点

所以发现，二叉树的删除其实都发生在底层

最后需要明确，红黑树的删除，第一步也是将对于非底层节点的删除进行转换，将其与其前驱（左子树最大节点）或者后继（右子树最小节点）进行交换，此时就会变成删除底层节点或者删除一个只有一个子节点的节点

交换后遇到红节点

交换后如果遇到红节点，那么这个红节点应该是底层节点或者有一个黑色子节点的节点

如果是底层节点，因为同时又是红色节点，删除对红黑树没有任何影响，可以直接删除

如果是有一个黑色子节点的红节点，其实也和底层节点没什么区别了，因为太简单了，删除掉他之后让他的黑色子节点顶替他的位置，依旧对红黑树没有任何影响

交换后遇到黑节点

如果被删除的节点变成了黑节点，情况就复杂很多

1. 被删除的节点有两个红色子节点；
2. 被删除的节点有一个红色子节点；
3. 被删除的节点没有子节点；

删除有红色子节点的黑节点

对于前两中情况，都只需要与他的一个红色子节点交换，然后删除底层的红色子节点即可

删除没有子节点的黑节点

继续划分情况，接下来要考虑被删除的黑色叶子节点的兄弟节点

删除黑色叶子节点，且其兄弟节点为黑色

接下来就是考虑兄弟节点

如果兄弟节点至少有一个红色子节点，如在下面三种情况中删除105，这里的关键是向兄弟借

对于情况一

1. 删除105节点，平衡被打破，100节点有一个黑色左子节点，但是没有右子节点；
2. 这里很容易看出来，只需要执行一次旋转操作即可，对100执行一次右旋，将95提拔上来，然后染色；

对于情况二

1. 删除105节点，平衡被破坏，100节点有黑色左子节点但是没有右子节点；
2. 此时是LR，可以通过对95执行一次左旋，再对100执行一次右旋完成调整；
3. 其实在对100完成右旋的时候，应该是98为黑色，95和100为红色，88和98同为黑色且在同一层，改变一下颜色更好；

对于情况三

1. 兄弟节点95只需要任意借一个子节点给105都可；
2. 如果借98，是LR型，需要左旋一次再右旋一次，如果借90，是LL型，只需要右旋一次，显然选择更简单的90；

第四种情况，如果兄弟也一个红色子节点都没有，那就需要父节点向下与兄弟节点合并为新的b树节点来修复整个b树的平衡了，父节点向下被称为“下溢”，下溢也会带来连锁反应

1. 删除105后，发现兄弟节点95也是光杆司令，没有红色子节点；
2. 100下调到95这一层，现在100是红色节点，有一个黑色左子节点，没有右子节点，所以95和100颜色对调；

第五种情况，在第四种情况的基础上，兄弟没有红色子节点，同时父节点是黑色

1. 删除60节点，60节点的父节点为黑色节点，同时兄弟节点没有红色子节点，如果只是按照第四种情况的方式来解决，会导致黑高不对；
2. 首先，将兄弟节点70染成红色，然后让父节点下调，此时父节点之前的位置可以想象成删除了一个节点，此时就会发现，被删除节点和40、50所形成的局面和第四种情况一样；
3. 所以接下来只需要40染红，50染黑，然后将50下调就可以了；

删除黑色叶子节点，且其兄弟节点为红色

1. 下面树中，要删除100，发现100的兄弟节点88为红色；
2. 将兄弟节点88染黑，将父节点95染红，再对父节点95执行一次右旋，得到第二棵树，发现此时删除100就和前面的情况四一样了；
3. 要删除的节点的兄弟节点为黑节点且没有红色子节点，父节点也是红色节点，此时将兄弟节点90染红，将父节点95染黑，并将父节点下调；

案例

最后看两个复杂案例

第一个，删除56节点

1. 56节点父节点为黑色，兄弟节点为没有红色子节点的黑色节点，第一步兄弟染红，父节点55下调；
2. 此时被删除节点、80、88形成的局面是，兄弟节点为红色，所以父节点80染红，兄弟节点88染黑，然后对父节点80执行一次左旋，使得被删除节点的兄弟节点为黑色，父节点为红色；
3. 最后兄弟节点76染红，父节点80染黑，然后父节点下调，结束；

第二个，全都是黑色节点，删除25

1. 父节点为黑色，兄弟节点黑色，且兄弟节点没有红色子节点，兄弟染红，父节点下调；
2. 第二棵树种，被删除节点、40、50所形成的仍是父节点黑色，兄弟黑色无红色子节点，所以再来一次，兄弟染红，父节点下调，然后就发现结束了；

参考视频

B站——小刘讲源码