deconv（多项式除法)
在 MATLAB 中，deconv函数用于实现多项式除法，其核心是找到商多项式 \(q(x)\) 和余式 \(r(x)\)，满足 “被除式 = 除式 × 商 + 余式”（即 \(n(x) = d(x) \cdot q(x) + r(x)\)），且余式的次数必须低于除式的次数。以下结合具体示例，从数学原理到计算步骤详细讲解：
一、多项式除法的数学原理
对于两个多项式：
- 被除式 \(n(x)\)（次数为 m），系数向量为 n（降幂排列，长度 \(m+1\)）；
- 除式 \(d(x)\)（次数为 k），系数向量为 d（降幂排列，长度 \(k+1\)）；
多项式除法的目标是找到：
- 商多项式 \(q(x)\)（次数为 \(m - k\)，当 \(m \geq k\) 时），系数向量为 q；
- 余式 \(r(x)\)（次数 < k），系数向量为 r；
满足：\(n(x) = d(x) \cdot q(x) + r(x)\)
步骤 3：用deconv函数验证
在 MATLAB 中，[q, r] = deconv(n, d) 直接返回商和余式的系数向量：
n = [2, 3, 4, 5]; % 被除式 2x³ + 3x² + 4x + 5
d = [1, 1]; % 除式 x + 1
[q, r] = deconv(n, d); % 计算商和余式disp("商多项式系数 q："); disp(q); % 输出 [2, 1, 3]（对应2x² + x + 3）
disp("余式系数 r："); disp(r); % 输出 [2]（对应常数项2）步骤 4：验证 “被除式 = 除式 × 商 + 余式”
通过多项式乘法（conv）和加法验证等式成立：
- 除式 × 商：\(d(x) \cdot q(x) = (x + 1)(2x^2 + x + 3) = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 3\)（系数向量
conv(d, q) = [2, 3, 4, 3]）； - 加上余式：\(2x^3 + 3x^2 + 4x + 3 + 2 = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5\)（与被除式一致）。
MATLAB 代码验证：
check = conv(d, q) + [r, 0, 0, 0]; % 余式补0对齐长度，再相加
disp("验证被除式："); disp(check); % 输出 [2, 3, 4, 5]（与n一致）三、deconv函数的核心逻辑
deconv 是 conv（多项式乘法）的逆运算，其本质是通过解线性方程组求商和余式：
- 设商 q 的系数为 \([q_0, q_1, \dots, q_{m-k}]\)，余式 r 的系数为 \([r_0, r_1, \dots, r_{k-1}]\)；
- 根据 “\(n = \text{conv}(d, q) + r_{\text{pad}}\)”（\(r_{\text{pad}}\) 是补 0 后的余式），建立关于 q 和 r 的线性方程，求解得到系数。
四、注意事项
- 系数向量格式：输入的 n 和 d 必须是降幂排列的系数向量，缺项需补 0（例如 \(d(x) = x^2 + 1\) 需表示为
[1, 0, 1]）。 - 除式首项系数：d 的第一个元素（最高次项系数）不能为 0，否则会导致除法无意义（类似 “除数不能为 0”）。
- 余式次数：余式 r 的系数向量长度一定小于 d 的长度（保证次数低于除式）。
- 被除式次数低于除式：若 n 的次数 < d 的次数，则商 \(q = []\)（空向量），余式 \(r = n\)（被除式本身）。
总结
deconv(n, d) 通过多项式长除法的逻辑，计算被除式 \(n(x)\) 除以除式 \(d(x)\) 的商 \(q(x)\) 和余式 \(r(x)\)，核心是满足 “\(n(x) = d(x) \cdot q(x) + r(x)\)” 且余式次数低于除式。该函数是多项式运算中 “除法” 的基础工具，与 conv（乘法）形成互逆操作。