凸函数与二阶导数

凸函数，二阶导数检验：f''(x) > 0 意味着凸函数。

凸函数真正美妙之处在于，如果你在凸函数上取任意两点，并在它们之间画一条直线，这条线总是在曲线上方，永远不会低于曲线。

数学上：对于 0 到 1 之间的任意 λ，f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y)。

曲线越“弯曲”，它与割线的距离就越大。直线和曲线之间的间隙，就是衡量凸度的指标。

这个不等式的定义和二阶导数的定义有什么关系？它们感觉完全不同，对吧？一个是关于割线保持在曲线上方，另一个是关于 f''(x) > 0。

它们实际上是同一个东西！如果 f''(x) 处处 > 0，则不等式成立。如果不等式成立（并且函数二阶可微），则 f''(x) ≥ 0。

直观的理解是：二阶导数告诉你斜率的变化速度。如果 f''(x) > 0，斜率会随着向右移动而不断增加。所以，如果你在两点之间画一条割线，那么两点之间的曲线必须相对于这条线“向下弯曲”，它始于直线斜率的下方，止于斜率的上方。这意味着曲线本身始终位于直线下方。

二阶导数就像是割线不等式在全局范围内表达的局部无穷小版本。

我们可以选取两个点，让它们沿着曲线一起移动，手牵手，紧紧相依。当它们沿着这个碗状函数滑行时，它们之间的那条细小的割线，也就是切线的斜率会不断增加。这正是 f'(x) 递增的意义。而 f'(x) 递增正是 f''(x) > 0 告诉你的！