【数学分析】拓扑学-度量空间

1. 拓扑定义

为了从拓扑学中提取我们真正需要的紧性和连通性理论，首先要了解度量空间的元素和子集所具有的性质

定义1.1. 度量空间

度量空间是由一个集合 $X$ 和一个函数 $d:X\times X\to \mathbb{R}$ 决定的，并对于任意 $p,q,r\in X$ 下列性质成立：

• 性质 1：如果 $p\ne q$，那么 $d(p,q)>0;d(p,p)=0$
• 性质 2：$d(p,q)=d(q,p)$
• 性质 3：$d(p,q)\le d(p,r)+d(r,q)$

集合 $X$ 的元素称为点，$d$ 称为距离函数或度量。

定义1.2. 有界集

设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集。如果 $X$ 中存在一点 $q$ 使得 $q$ 到 $E$ 中的任意一点的距离均小于某个固定的有限实数 $M$ ，那么子集 $E$ 是有界的。即如果：
$$\exists q\in X,\exists M\in \mathbb{R}使得\forall p\in E,d(p,q)\le M$$
那么$E\subset X$ 有界。
没有界的集合称为无界集

需要注意的是，这里有界的定义与集合的有界的定义不同。有上下界是有序域的子集的性质，而当前的有界是度量空间的子集的性质。
如果把距离函数定义为 $d(p,q)=|p-q|$ ，那么任何有序域都是度量空间。$\mathbb{R}$ 既是一个有序域又是度量空间

定理1.3. 有界并

设 {Ai}\{ A_i\}{Ai​} 是度量空间 $X$ 的任意子集族，如果对于每一个 $1\le i\le n$，$A_i$ 均有界，那么有界并 ${\bigcup }_{i=1}^n{A}_i$ 也是有界的.

证明： 根据定义1.2，对于每个集合 $A_i$，存在点 $q_i\in X$ 和数 $M_i\in \mathbb{R}$，使得对于每个 $p_i\in A_i$，均有 $d(p_i,q_i)\le M_i$。同时，对于有界并中的一点 $p$，一定属于某个集合 $A_i,1\le i\le n$，存在一点 $q\in A_i,M\in \mathbb{R}$，根据度量空间性质三：
d(p,q)≤d(p,qi)+d(qi,q)d(p,q)≤Mi+d(q,qi)d(p,q)≤max{M1,M2,⋯,Mn}+max{d(q,q1),d(q,q2),⋯,d(q,qn)}d(p,q) \leq d(p,q_i) + d(q_i,q)\\d(p,q) \leq M_i + d(q,q_i)\\d(p,q)\leq max\{M_1,M_2,\cdots,M_n\}+max\{d(q,q_1),d(q,q_2),\cdots ,d(q,q_n)\}d(p,q)≤d(p,qi​)+d(qi​,q)d(p,q)≤Mi​+d(q,qi​)d(p,q)≤max{M1​,M2​,⋯,Mn​}+max{d(q,q1​),d(q,q2​),⋯,d(q,qn​)}
此时令：
$$M=\underset{1\le i\le n}{\max }{M}_i+\underset{1\le i\le n}{\max }d(q,q_i)$$
那么，对于任意 $p\in {\bigcup }_{i=1}^n{A}_i$，均有 $d(p,q)\le M$。
需要注意的是，如果这里为无限并 ${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i$，那么这个证明就不成立。因为无法取到 $\underset{1\le i}{\max }{M}_i$ 的最大值。

定理1.4. 有界 $\iff$ 既有上界又有下界

设 $F$ 是一个有序域，$E$ 是 $F$ 的任意子集。$E$ 有界当且仅当 $E$ 有上界又有下界。

证明： 对于这个有序域 $F$，定义一个度量 $d(p,q)=|p-q|$，构成度量空间。如果 $E$ 是有界的，那么存在 $q\in F$ 和 $M\in \mathbb{R}$，使得对于每个 $p\in E$ 均有：
$$\begin{gathered} |p-q|\le M \\ -M\le p-q\le M \\ q-M\le p\le q+M \end{gathered}$$
可得 $q-M$ 是 $E$ 的下界，$q+M$ 是 $E$ 的上界。
如果 $E$ 既有上界又有下界，那么存在 $\alpha ,\beta \in F$，使得对于每个 $p\in E$ 均有 $\beta \le p\le \alpha$。此时令：
M≥max{∣α∣，∣β∣}M \geq max\{|\alpha|，|\beta|\}M≥max{∣α∣，∣β∣}
那么 $M\ge |\alpha |\ge \alpha$，且 $-M\le -|\beta |\le \beta$。因为 $F$ 是一个有序域，因此它拥有加法单位元，令 $q=0$，则 $q-M\le p\le q+M$，于是 $|p-q|\le M$，$E$ 有界。

定义1.5. 邻域

在度量空间 $X$ 中，围绕点 $p$ 且半径为 $r>0$ 的邻域 $N_r(p)$ 是 $X$ 中与 $p$ 的距离小于 $r$ 的所有点的集合，即：
Nr(p)={q∈X∣d(p,q)<r}N_r(p) = \{ q\in X | d(p,q) < r\}Nr​(p)={q∈X∣d(p,q)<r}
在度量空间 $\mathbb{R}$ 中，集合 $(-3,3)$ 是围绕点 $0$ 且半径为 $3$ 的邻域，而集合 $[-3,3]、[-3,3)$ 不是邻域，因为点 $0$ 到点 $-3$ 的距离等于 $3$，等于半径。
在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，任何圆内部所有点的集合都是围绕其圆心的邻域。在 ${\mathbb{R}}^k$ 中，任何 $k$ 维球体内部所有点的集合都是围绕其圆心的邻域，这些集合被称为开球。所有的邻域都以 $M=r$ 为界。

定义1.6. 极限点

设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集，如果点 $p$ 的每个邻域都包含除自身外 $E$ 的至少一点，那么 $p$ 就是 $E$ 的极限点，即如果：
∀r>0,Nr(p)∩E≠{q}and≠∅\forall r > 0 ,N_r(p) \cap E \neq \{q\} \ and\ \neq \varnothing ∀r>0,Nr​(p)∩E={q} and =∅
那么 $p$ 就是 $E\in X$ 的极限点。
极限点也称为聚点或累积点。包含在 $E$ 中的每个非极限点称为 $E$ 的孤立点。

定理1.7. 极限点的无限邻域

设 $E$ 是度量空间 $X$ 的子集。如果 $p$ 是 $E$ 的极限点，那么对于任意 $r>0$，$N_r(p)$ 包含 $E$ 中无穷多个点。
证明： 利用逆否命题来证明，不去证明 $\mathbf{A}\Rightarrow \mathbf{B}$，而是证明 $\neg \mathbf{B}\Rightarrow \neg \mathbf{A}$。此时，$\mathbf{B}$ 是“$p$ 的邻域 $N_R(p)$ 中包含 $E$ 的无穷多个点”，所以 $\neg \mathbf{B}$ 是“$p$ 的某个邻域只包含 $E$ 的有限个点。

证明逆否命题： 假设 $N_r(P)$ 只包含 $E$ 中的有限点，则集合 Q=Nr(p)∩{p}Q = N_r(p) \cap \{ p\}Q=Nr​(p)∩{p} 有限。当 $Q$ 为空集时，$\neg \mathbf{A}$ 自然成立。当 $Q\ne \varnothing$ 时，记 $Q$ 中所有点为 {p1,p2,⋯,pn}\{p_1,p_2,\cdots ,p_n\}{p1​,p2​,⋯,pn​}，令：
D={d(p,p1),d(p,p2),⋯,d(p,pn)}D =\{ d(p,p_1),d(p,p_2),\cdots,d(p,p_n)\}D={d(p,p1​),d(p,p2​),⋯,d(p,pn​)}
由于 $Q$ 有限，因此集合 $D$ 有限，取得到 $D$ 的最小值，此时令：
$$h\le minD$$
因此有 $N_h(p)\subset N_r(p)$，从而：
Nh(p)∩E/{p}=∅N_h(p) \cap E / \{ p\} = \varnothingNh​(p)∩E/{p}=∅
于是找到了一个 $p$ 的邻域，不包含 $E$ 中的任何点，因此该点不是 $E$ 的极限点。

推论1.8. 有限集没有极限点

度量空间的有限子集没有极限点。
证明：如果有限集 $E\subset X$ 有一个极限点 $p$，那么对于任意 $r>0$，存在 $N_r(p)$ 包含 $E$ 中无穷多点，因此 $E$ 一定有无穷多点，与假设相悖。

定义1.9. 闭集

如果度量空间的一个子集包含其所有极限点，那么该子集就是一个闭集。即如果：
{p∈X∣p是 E的极限点}⊂E\{ p \in X\ | \ p\ 是\ E\ 的极限点\} \subset E{p∈X ∣ p 是 E 的极限点}⊂E
那么 $E$ 是一个闭集。
例如，区间 $(-3,3)$ 中，对于边界点 $-3,3$，可以找到任意 $r>0，N_r(3)，N_r(-3)$ 包含区间中的无限个点，但是边界点不属于区间 $(-3,3)$ 中，因此，区间 $(-3,3)$ 不是一个闭集，而区间 $[-3,3]$ 是闭集，因此区间 $[-3,3]$ 又称为闭区间。

推论1.10. 有限子集是闭集

度量空间的有限子集是闭集。
证明：根据推论1.8，有限集 $E\subset X$ 没有极限点，因此 $E$ 包含其所有极限点，所以 $E$ 是闭集。

定义1.11. 稠密集

设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集，如果 $X$ 的每一点均属于 $E$ 或是 $E$ 的极限点，那么 $E$ 在 $X$ 中是稠密的。即如果：
$$\forall x\in X,x\in E或x是E的极限点$$
那么 $E\subset X$ 在 $X$ 中是稠密的。
需要注意的是，稠密性是一种相对属性，不能简单的说一个集合是“稠密的”，只有在度量空间中讨论集合的稠密性才有意义。

定理1.12. $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密

有理数集 $Q$ 在度量空间 $R$ 中是稠密的。
证明：根据定义1.11，命题等价于证明“每一个实数要么是有理数，要么是有理数集的一个极限点”，等价于“不属于有理数的实数，是有理数 $Q$ 的极限点”。
设全体无理数集合为 $I$，需要证明：
p∈I⇒∀r>0,Nr(p)∩Q≠{q}and≠∅p \in I \Rightarrow \forall r >0,N_r(p) \cap \mathbb{Q} \neq \{q\}\ and\ \neq \varnothingp∈I⇒∀r>0,Nr​(p)∩Q={q} and =∅
通过构造有理数的方法，很容易得到对于任意 $r>0$，存在一个有理数 $q$ 满足：
$$p-r<q<p+r$$
因此定理成立.

定义1.13. 内点

设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集，如果 $p$ 的某个邻域包含在 $E$ 中，那么点 $p$ 就是 $E$ 的内点。即如果：
$$\exists r>0使得N_r(p)\subset E$$
那么 $p$ 是 $E\subset X$ 的内点。

定义1.14. 开集

如果度量空间的一个子集的所有点都是该集合的内点，那么这个子集就是一个开集，即如果：
$$\forall p\in E,\exists r>0使得N_r(p)\subset E$$
那么 $E\subset X$ 是一个开集。
对于集合 $(-3,3)$，取任意 $p\in (-3,3)$，令：
r=min{∣−3−p∣,∣3−p∣}r =min\{ |-3-p|,|3-p|\}r=min{∣−3−p∣,∣3−p∣}
那么 $N_r(p)\subset (-3,3)$，因此集合 $(-3,3)$ 的每一个点都是该集合的内点，该集合为开集，所以称为“开区间”。

定理1.15. 所有邻域都是开集

度量空间 $X$ 中的每一个邻域 $N_r(p)$ 都是开集。
证明：根据开集的定义1.14，要证明每个邻域都是开集，即证明“取一个邻域 $E=N_r(p)$，对于任意 $q\in E$，存在一个半径 $k>0$，使得邻域 $F=N_k(q)$ 包含在 $E$ 中”：
任取一点 $q\in N_r(p)$，有 $d(p,q)<r$，令：
$$k=r-d(p,q)$$
对于点 $q$ 的邻域 $N_k(q)$，任取一点 $s$，有 $d(q,s)<k$。现在需要证明该点被 $E$ 包含在内，即：$s\in N_r(p)$：
根据度量空间性质三：
$$d(p,s)\le d(p,q)+d(q,s)=d(p,q)+k$$
带回 $k=r-d(p,q)$：
$$d(p,s)\le d(p,q)=r$$
因此，所有的邻域都是开集。

定义 1.16. 完备集

如果度量空间的一个子集是闭集，并且它的所有点都是极限点，那么整个子集就是一个完备集。

在以上提到的例子中，只有 $[-3,3]$ 这样的闭区间是完备集，而 $(-3,3)$ 或 [−3,3]∩{100}[-3,3] \cap \{100\}[−3,3]∩{100} 这样的集合虽然是闭集，但不完备。

总结

对于度量空间 $X$ 的每一个子集 $E$，我们先考虑其是否有界，在观察它的极限点（聚点）和内点，进而确定它是闭集、开集或完备集。
后续会深入阐述开集、闭集的性质，而现在，我要去吃饭了！

参考文献

【1】普林斯顿数学分析读本