10.14 数论

问题 - D - Codeforces — Problem - D - Codeforces

数论。考察gcd，lcm的性质和素数筛。

题意：给定c，d，x。求满足$c\ast lcm(a,b)-d\ast gcd(a,b)=x$的ab对数量。

思路：首先发现有lcm和gcd，可以容易想到 $a=k_1\ast gcd(a,b),b=k_2\ast gcd(a,b)$。

且$k_1$与$k_2$互质，因为如果不互质，$gcd(a,b)$还要乘上$gcd(k_1,k_2)$。又有$lcm(a,b)=a\ast b/gcd(a,b)$。

我们带入化简原式得到：
$$c\ast \gcd (a,b)\ast k_1\ast k_2-d\ast \gcd (a,b)=x$$

$$\gcd (a,b)=\frac{x}{c\ast k_1\ast k_2-d}$$

因为$gcd(a,b)$一定是整数，所以$(c\ast k_1\ast k_2-d)|x$ ,我们令 $y=c\ast k_1\ast k_2-d$。
$$k_1\ast k_2=\frac{y+d}{c}$$
因为前面我们已经推导出$k_1$与$k_2$互质，且题目给了c和d的值，所以我们只需要枚举y。记k为右式。

保证k的每种质因数属于$k_1$或$k_2$，贡献为$2^{cnt}$，cnt为k的质因子种数。

比如对于样例1，1 1 3。

当y=1，k=2，$k_1$ $k_2$分别可为1 2；2 1。贡献为2。

当y=2，y不是x的因子，略过。

当y=3，k=4，$k_1$ $k_2$分别可为1 4；4 1。贡献为2。

注意y和d的上限都是1e7，所以素数筛数组要开到2e7。

int ou[mm];    //计算i的质因子的个数
int prime[mm]; //判断i是否为质数，1为质数
int cnt = 0;   //记录质数个数
void oula()
{for (int i = 2; i <= mm; i++){if (!ou[i]){prime[++cnt] = i;ou[i] = 1;}for (int j = 1; i * prime[j] <= mm; j++){ou[i * prime[j]] = ou[i] + 1;if (i % prime[j] == 0)  //确保每个合数只被其最小质因数标记一次{ou[i * prime[j]] = ou[i];break;}}}
}void solve()
{int c, d;cin >> c >> d >> x;ans = 0;for (int i = 1; i * i <= x; i++){if (x % i == 0){int y0 = i, y1 = x / i;int k;if ((y0 + d) % c == 0){k = (y0 + d) / c;ans += 1ll << ou[k];}if (y0 == y1){continue;}if ((y1 + d) % c == 0){k = (y1 + d) / c;ans += 1ll << ou[k];}}}cout << ans;
}