算法---动态规划（Dynamic Programming, DP）

一、动态规划的核心定义与本质

动态规划（DP）是一种通过分解问题为重叠子问题，并存储子问题解以避免重复计算，最终求解原问题最优解的算法思想。它并非具体算法，而是一种“优化思想”，核心解决两类问题：

1. 重叠子问题：原问题的解依赖多个相同的子问题（如斐波那契数列中，f(5)依赖f(4)和f(3)，而f(4)又依赖f(3)，f(3)被重复计算）；
2. 最优子结构：原问题的最优解可由子问题的最优解推导而来（如“从A到C的最短路径”，若经过B，则“A到B的最短路径”+“B到C的最短路径”必为A到C的最短路径）。

DP与分治法的区别：分治法（如归并排序）也分解问题为子问题，但子问题无重叠，无需存储子问题解；DP的子问题重叠，存储解可大幅降低时间复杂度（通常从指数级降至多项式级）。

二、动态规划的基本步骤

DP的核心是“定义状态”和“推导转移方程”，具体分为4步：

1. 定义状态：用dp[i]或dp[i][j]等表示“以i（或i,j）为边界的子问题的解”（状态定义是DP的灵魂，定义不当会导致转移方程无法推导）；
2. 推导状态转移方程：描述dp[i]与dp[i-1]、dp[i-2]等子状态的关系（如斐波那契的dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]）；
3. 确定初始条件：初始化最小子问题的解（如斐波那契的dp[0]=0，dp[1]=1）；
4. 计算最终结果：通过递推（自底向上）或记忆化搜索（自顶向下）计算原问题的解。

三、DP的两种实现方式（C++示例）

DP有两种经典实现形式，分别对应“自顶向下”和“自底向上”的思路，以下以斐波那契数列为例说明。

1. 记忆化搜索（自顶向下）

• 思路：从原问题（如f(10)）递归分解为子问题（f(9)和f(8)），用“备忘录”（数组/哈希表）存储已计算的子问题解，避免重复计算。
• 优点：代码直观，符合递归思维；仅计算必要的子问题。
• C++代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 备忘录：存储已计算的f(n)，初始化为-1表示未计算
vector<int> memo;// 递归函数：计算f(n)
int fib(int n) {// 1.  base case（最小子问题）if (n <= 1) return n;// 2.  若已计算，直接返回备忘录中的值（避免重复计算）if (memo[n] != -1) return memo[n];// 3.  递归计算子问题，并存储结果到备忘录memo[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);return memo[n];
}int main() {int n = 10;memo.resize(n + 1, -1); // 初始化备忘录，大小为n+1（覆盖0~n）cout << "fib(" << n << ") = " << fib(n) << endl; // 输出55return 0;
}

2. 递推（自底向上）

• 思路：从最小子问题（如f(0)、f(1)）开始，按顺序计算到原问题（f(n)），用“DP表”（数组）存储子问题解。
• 优点：无递归栈开销，效率更高；可进一步优化空间（如斐波那契可从O(n)优化到O(1)）。
• C++代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int fib(int n) {// 1.  处理边界情况if (n <= 1) return n;// 2.  定义DP表：dp[i]表示f(i)vector<int> dp(n + 1);// 3.  初始条件（最小子问题）dp[0] = 0;dp[1] = 1;// 4.  递推计算（自底向上）for (int i = 2; i <= n; ++i) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 转移方程}return dp[n];
}// 空间优化：仅存储前两个状态（O(1)空间）
int fib_optimized(int n) {if (n <= 1) return n;int prev_prev = 0; // f(i-2)int prev = 1;      // f(i-1)int curr;          // f(i)for (int i = 2; i <= n; ++i) {curr = prev + prev_prev;prev_prev = prev;prev = curr;}return prev;
}int main() {int n = 10;cout << "fib(" << n << ") = " << fib(n) << endl;         // 55cout << "优化后：fib(" << n << ") = " << fib_optimized(n) << endl; // 55return 0;
}

四、常见DP类型及经典问题（C++示例）

DP的应用场景广泛，按问题结构可分为5大类，覆盖90%以上的DP题目。

1. 线性DP（Linear DP）

• 特征：子问题按“线性顺序”排列（如数组下标、序列长度），状态通常为dp[i]（一维）或dp[i][j]（二维）。
• 经典问题：最长上升子序列（LIS）、最长公共子序列（LCS）。

示例：最长上升子序列（LIS）

问题：给定数组nums，求严格递增的最长子序列长度（如nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]，LIS为[2,3,7,101]，长度4）。

实现1：O(n²)递推

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {int n = nums.size();if (n == 0) return 0;// 状态定义：dp[i]表示以nums[i]结尾的LIS长度vector<int> dp(n, 1); // 初始化为1（每个元素自身是长度为1的子序列）int max_len = 1;// 递推：遍历每个元素，对比前面所有元素for (int i = 1; i < n; ++i) {for (int j = 0; j < i; ++j) {if (nums[j] < nums[i]) { // 若nums[j] < nums[i]，可构成上升子序列dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); // 转移方程：取最大值}}max_len = max(max_len, dp[i]); // 更新全局最长长度}return max_len;
}int main() {vector<int> nums = {10,9,2,5,3,7,101,18};cout << "LIS长度：" << lengthOfLIS(nums) << endl; // 输出4return 0;
}

实现2：O(nlogn)优化（状态压缩）

• 思路：用tails数组存储“长度为k的LIS的最小尾元素”，遍历nums时，用二分查找更新tails。

int lengthOfLIS_optimized(vector<int>& nums) {vector<int> tails; // tails[k]：长度为k+1的LIS的最小尾元素for (int x : nums) {// 二分查找第一个 >= x 的元素，替换为x（保证tails递增）auto it = lower_bound(tails.begin(), tails.end(), x);if (it == tails.end()) {tails.push_back(x); // x是新的最长LIS的尾元素} else {*it = x; // 替换为更小的尾元素，为后续元素留空间}}return tails.size(); // tails的长度即为LIS长度
}

2. 背包DP（Knapsack DP）

• 特征：给定“物品”（有重量/价值）和“背包容量”，求满足约束的最优解（如最大价值、最少物品数）。
• 经典问题：01背包（物品仅选1次）、完全背包（物品可选无限次）、多重背包（物品选有限次）。

核心思路：最小容量拿最大价值
01背包： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]);
完全背包：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i-1]] + v[i-1]);

示例：01背包（最大价值）

问题：有n件物品，每件物品重w[i]、价值v[i]，背包容量C，求装入背包的最大价值（每件物品最多选1次）。

a.不放这个物品，最大价值即为放这个物品前的最大价值
b.清空背包，只放这个物品，再看剩余容量能否装下之前的物品，最大价值为这个物品的价值+背包剩余容量的最大价值

实现1：二维DP表（O(n*C)空间）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;int knapsack01(vector<int>& w, vector<int>& v, int C) {int n = w.size();// 状态定义：dp[i][j]表示前i件物品，容量j时的最大价值vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(C + 1, 0));for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 遍历物品for (int j = 1; j <= C; ++j) { // 遍历容量if (j < w[i - 1]) { // 容量不足，不选第i件物品（i-1是数组下标）dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else { // 选或不选，取最大值dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]);}}}return dp[n][C];
}int main() {vector<int> w = {2,3,4,5}; // 物品重量vector<int> v = {3,4,5,6}; // 物品价值int C = 8; // 背包容量cout << "最大价值：" << knapsack01(w, v, C) << endl; // 输出10（选2+3+3？不，选2+5重量8，价值3+6=9？不对，正确是3+5重量8，价值4+5=9？哦，原数据w=[2,3,4,5]，v=[3,4,5,6]，容量8：选w=3（v=4）+w=5（v=6）→ 重量8，价值10，对）return 0;
}

实现2：一维DP表（O©空间优化）

• 关键：容量j逆序遍历（避免覆盖dp[j - w[i]]，确保每件物品只选1次）。

int knapsack01_optimized(vector<int>& w, vector<int>& v, int C) {int n = w.size();// 状态定义：dp[j]表示容量j时的最大价值vector<int> dp(C + 1, 0);for (int i = 0; i < n; ++i) { // 遍历物品// 逆序遍历容量：避免重复选同一物品for (int j = C; j >= w[i]; --j) {dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);}}return dp[C];
}

3. 区间DP（Interval DP）

• 特征：子问题按“区间长度”划分（如dp[i][j]表示区间[i,j]的解），需按区间长度从小到大递推。
• 经典问题：石子合并（最小代价）、最长回文子串。

示例：石子合并（最小代价）

问题：n堆石子排成一行，每次合并相邻两堆，代价为两堆石子数之和，求合并为1堆的最小总代价。

C++代码（O(n³)）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;int stoneMerge(vector<int>& stones) {int n = stones.size();if (n <= 1) return 0;// 1.  预处理前缀和：sum[i][j]表示区间[i,j]的石子总数vector<vector<int>> sum(n, vector<int>(n, 0));for (int i = 0; i < n; ++i) {sum[i][i] = stones[i];for (int j = i + 1; j < n; ++j) {sum[i][j] = sum[i][j - 1] + stones[j];}}// 2.  状态定义：dp[i][j]表示合并区间[i,j]的最小代价vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));// 3.  递推：按区间长度len从小到大遍历（len=2到n）for (int len = 2; len <= n; ++len) {for (int i = 0; i + len - 1 < n; ++i) { // 区间起点iint j = i + len - 1; // 区间终点jdp[i][j] = INT_MAX; // 初始化为无穷大// 4.  枚举分割点k（i ≤ k < j），合并[i,k]和[k+1,j]for (int k = i; k < j; ++k) {dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[i][j]);}}}return dp[0][n - 1];
}int main() {vector<int> stones = {3,4,5,6}; // 示例输入cout << "最小合并代价：" << stoneMerge(stones) << endl; // 输出36（3+4=7→7+5=12→12+6=18？不对，正确计算：3+4=7（代价7），7+5=12（代价7+12=19），12+6=18（19+18=37）？哦，原数据正确最小代价是36：4+5=9（代价9），3+9=12（9+12=21），12+6=18（21+18=39）？可能我算错了，代码是正确的，以代码运行结果为准）return 0;
}

4. 树形DP（Tree DP）

• 特征：问题基于树结构，子问题为“子树的解”，需通过DFS遍历树，从叶子节点向根节点递推。
• 经典问题：树的最大独立集、树上最长路径（直径）。

5. 状态压缩DP（Bitmask DP）

• 特征：状态用“二进制位”表示（如mask的第i位为1表示“第i个元素已使用”），适用于n≤20的小规模问题。
• 经典问题：旅行商问题（TSP，求访问所有城市的最短路径）。

五、DP的优化技巧

1. 空间优化：

   • 滚动数组：如01背包从二维优化到一维，斐波那契从O(n)优化到O(1)；
   • 状态复用：仅存储当前计算所需的前几个状态（如线性DP的dp[i]仅依赖dp[i-1]）。

2. 时间优化：

   • 二分优化：如LIS的O(nlogn)实现，用二分查找替代线性遍历；
   • 单调队列优化：如“滑动窗口内的最大和”类DP，用队列维护单调递减序列，将O(n²)降至O(n)；
   • 斜率优化：适用于线性转移方程（如dp[i] = a[i]*b[j] + c[i] + d[j]），通过维护凸包降低时间复杂度。

六、DP的常见误区

1. 状态定义模糊：如LIS中若定义dp[i]为“前i个元素的LIS长度”，会导致无法推导转移方程（正确定义是“以nums[i]结尾的LIS长度”）；
2. 转移方程推导错误：如01背包未逆序遍历容量，导致物品被重复选择（变成完全背包）；
3. 初始条件遗漏：如区间DP未初始化dp[i][i] = 0（单个元素无需合并，代价为0）；
4. 忽略子问题重叠：直接暴力递归（如未用备忘录的斐波那契），导致时间复杂度飙升至O(2ⁿ)。

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动态规划的核心是“用空间换时间”，通过存储子问题解避免重复计算。DP的关键在于：

1. 熟练掌握“状态定义→转移方程→初始条件”三步法；
2. 针对不同问题类型（线性、背包、区间等）总结模板；
3. 通过优化技巧（空间、时间）提升算法效率；
4. 多练经典题目（如LeetCode的DP标签题），培养“分解子问题”的思维。

掌握DP后，可解决大量工程中的优化问题（如资源分配、路径规划、序列匹配），是算法面试中的核心考点之一。