差分操作正确性证明

差分操作正确性证明

本文是作者因题目写差分写挂了后随手总结的。

定义

对于一个长度为 $n$ 的数组 $a$，定义其差分数组为 $p$，且 $\forall 1\le i\le n,p_i=a_i-a_{i-1}(a_0=0)$。

转化回原数列

给些式子就懂了。

根据定义：
$$\begin{gathered} p_1+p_2+p_3+\cdots +p_k \\ =a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots +(a_k-a_{k-1}) \\ =a_k \end{gathered}$$
所以，$a_k={\sum }_{i=1}^k{p}_i$。
$$\begin{gathered} a_k=\sum _{i=1}^k{p}_i \\ {a}_k=\sum _{i=1}^{k-1}{p}_i+p_k \\ {a}_k=a_{k-1}+p_k \end{gathered}$$
另一种：
$$\begin{gathered} p_x=a_x-a_{x-1} \\ {a}_x=a_{x-1}+p_x \end{gathered}$$
所以只要把 $p$ 数组当作新的原数组，再将这个数组做个前缀和就 OK 了。

区间加法

假设需要将原数列的 $[l,r]$ 全部加上 $v$。那么暴力是 $O(n)$ 的，考虑用差分优化。

公式：$p_l\leftarrow p_l+v,p_{r+1}\leftarrow p_{r+1}-v$。

证明：

显然 $\forall 1\le i\le l-1$，$p_i$ 是不变的。那么考虑转化的本质。

我们设 $s_i$ 表示修改后的数组。即 $s_i=s_{i-1}+p_i$。

$$\begin{gathered} \forall l\le i\le r \\ {s}_i=\sum _{j=1}^i{p}_j \\ {s}_i=\sum _{j=1}^{i-1}{p}_j+p_i \\ {s}_i=s_{i-1}+p_j \end{gathered}$$
那么在 $[l,r]$ 区间里的数，在前缀和时就会被 $s_l$ 加上 $v$。而 $[r+1,n]$ 里的数（不动的），则在 $s_{r+1}$ 时减回来了，故值不变。

差分大概也就用到这些，再复杂点的就用线段树吧。

例题

给道例题：NOIP 2012 提高组 借教室。

代码：（差分+二分，时间复杂度 $O(n\log m)$）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ljl;
const int N=1e6+5;
int n,m;
ljl a[N],tp[N],sum[N],p[N];
struct R{int s,t;ljl d;
}r[N];
void addlr(int l,int r,int v)
{p[l]+=v;p[r+1]-=v;return;
}
bool check(int x)//check [1,x]
{for(int i=1;i<=n;++i)p[i]=tp[i];for(int i=1;i<=x;++i)addlr(r[i].s,r[i].t,-r[i].d);memset(sum,0,sizeof(sum));for(int i=1;i<=n;++i)sum[i]=p[i]+sum[i-1];for(int i=1;i<=n;++i)if(sum[i]<0)return 0;return 1;
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;++i)cin>>a[i];for(int i=1;i<=m;++i)cin>>r[i].d>>r[i].s>>r[i].t;for(int i=1;i<=n;++i)tp[i]=a[i]-a[i-1];int l=0,r=m,mid=0;while(l<r){mid=(l+r+1)>>1;
//		cout<<l<<' '<<r<<' '<<mid<<' '<<check(mid)<<'\n';if(check(mid))l=mid;else r=mid-1;}if(l==m){cout<<"0\n";return 0;}cout<<"-1\n"<<l+1<<'\n';return 0;
}