Symmetric functions and hall polynomials 1.1 总结

对称函数：分拆理论

1. 分拆

基本定义与符号

• 分拆（Partition）：一个非负整数的递减序列 $\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_r,\dots )$，满足 ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \dots \ge {\lambda }_r\ge \dots$，且仅有限多个非零项。末尾零串不同的序列视为相同。
• 部分（Part）：分拆 $\lambda$ 中的非零 ${\lambda }_i$。
• 长度：$l(\lambda )$，表示 $\lambda$ 中非零部分的个数。
• 权重：$|\lambda |=\sum {\lambda }_i$。若 $|\lambda |=n$，则称 $\lambda$ 为 $n$ 的分拆。
• 集合表示：
  • ${\mathcal{P}}_n$：$n$ 的所有分拆的集合。
  • $\mathcal{P}$：所有分拆的集合。
  • ${\mathcal{P}}_0$：仅包含零分拆，记为 $0$。
• 重数表示：$\lambda =(1^{m_1}{2}^{m_2}\dots r^{m_r}\dots )$，其中 mi=Card{j:λj=i}m_i = \text{Card}\{j : \lambda_j = i\}mi​=Card{j:λj​=i} 是 $i$ 在 $\lambda$ 中的重数。

图与共轭

• 图（Diagram）：分拆 $\lambda$ 的图定义为点集 $\{(i,j)\in {\mathbb{Z}}^2:1\le j\le {\lambda }_i\}$。绘制时，行索引 $i$ 向下递增，列索引 $j$ 向右递增。
• 共轭（Conjugate）：分拆 ${\lambda }^{\prime }$，其图是 $\lambda$ 的图的转置，满足 λi′=Card{j:λj≥i}\lambda_i' = \text{Card}\{j : \lambda_j \geq i\}λi′​=Card{j:λj​≥i}。性质：${\lambda }^{\prime \prime }=\lambda$。
• 关系：$m_i(\lambda )={\lambda }_i^{\prime }-{\lambda }_{i+1}^{\prime }$。

函数与记号

• $n(\lambda )$：定义为 $n(\lambda )={\sum }_{i\ge 1}(i-1){\lambda }_i$。等价地，$n(\lambda )={\sum }_{i\ge 1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\lambda }_i^{\prime }}{2}\right)$。
• Frobenius 记号：若 $\lambda$ 的主对角线有 $r$ 个节点，记 ${\alpha }_i={\lambda }_i-i$（第 $i$ 行对角线右侧节点数），${\beta }_i={\lambda }_i^{\prime }-i$（第 $i$ 列对角线下方节点数），则 $\lambda =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r\mid {\beta }_1,\dots ,{\beta }_r)$。共轭满足 $(\alpha \mid \beta {)}^{\prime }=(\beta \mid \alpha )$。

斜图与表格

• 包含关系：$\lambda \supset \mu$ 表示 $\lambda$ 的图包含 $\mu$ 的图，即对所有 $i$ 有 ${\lambda }_i\ge {\mu }_i$。
• 斜图（Skew Diagram）：$\theta =\lambda -\mu$。
  • 连通性：斜图的极大连通子集称为连通分支。
  • 共轭斜图：${\theta }^{\prime }={\lambda }^{\prime }-{\mu }^{\prime }$。
  • 水平/垂直条带：若 $|\theta |=m$ 且每列（行）至多一个方格，则 $\theta$ 是水平（垂直）条带。
  • 边界条带（Rim Hook）：连通的斜图，且不包含 $2\times 2$ 方格块。其长度是方格总数，高度是行数减一。
• 表格（Tableau）：列严格表格指分拆序列 $\mu ={\lambda }^{(0)}\subset {\lambda }^{(1)}\subset \dots \subset {\lambda }^{(r)}=\lambda$，其中每个 ${\theta }^{(i)}={\lambda }^{(i)}-{\lambda }^{(i-1)}$ 是水平条带。数字插入需满足列严格递增、行弱递增。
  • 形状：$\lambda -\mu$。
  • 权重：$(|{\theta }^{(1)}|,\dots ,|{\theta }^{(r)}|)$。
  • 标准表格：权重为 $(1,1,\dots ,1)$ 的表格。

分拆的运算

• 加法：$(\lambda +\mu {)}_i={\lambda }_i+{\mu }_i$。
• 乘法：$(\lambda \mu {)}_i={\lambda }_i{\mu }_i$。
• 并运算：$\lambda \cup \mu$ 是将 $\lambda$ 和 $\mu$ 的部分合并后按降序排列。
• 直积：$\lambda \times \mu$ 的部分为 $\min ({\lambda }_i,{\mu }_j)$ 按降序排列。
• 对偶关系：
  • $(\lambda \cup \mu {)}^{\prime }={\lambda }^{\prime }+{\mu }^{\prime }$
  • $(\lambda \times \mu {)}^{\prime }={\lambda }^{\prime }{\mu }^{\prime }$

序关系

• 逆字典序 $L_n$：${\mathcal{P}}_n$ 上的全序，$(\lambda ,\mu )\in L_n$ 当且仅当第一个非零差值 ${\lambda }_i-{\mu }_i$ 为正。
• 逆字典序 $L_n^{\prime }$：$(\lambda ,\mu )\in L_n^{\prime }$ 当且仅当第一个非零差值 ${\lambda }_i^{\ast }-{\mu }_i^{\ast }$ 为负（其中 ${\lambda }_i^{\ast }={\lambda }_{n+1-i}$）。
• 自然序（优势偏序）$N_n$：$(\lambda ,\mu )\in N_n$ 当且仅当对所有 $i\ge 1$ 有 ${\lambda }_1+\dots +{\lambda }_i\ge {\mu }_1+\dots +{\mu }_i$。记为 $\lambda \ge \mu$。
• 性质：
  • $\lambda \ge \mu \Rightarrow (\lambda ,\mu )\in L_n\cap L_n^{\prime }$。
  • $\lambda \ge \mu \iff {\mu }^{\prime }\ge {\lambda }^{\prime }$。
  • $N_n$ 是格（每对分拆有上确界和下确界）。

提升算子

• 作用域：整数向量 $a=(a_1,\dots ,a_n)\in {\mathbb{Z}}^n$。
• 基本域：Pn={b∈Zn:b1≥b2≥…≥bn}P_n = \{b \in \mathbb{Z}^n : b_1 \geq b_2 \geq \ldots \geq b_n\}Pn​={b∈Zn:b1​≥b2​≥…≥bn​}。对任意 $a\in {\mathbb{Z}}^n$，$a^{+}$ 表示其降序重排。
• 性质：$a\in P_n\iff a\ge wa$ 对所有 $w\in S_n$。
• 提升算子 $R_{ij}$：$R_{ij}(a)=(a_1,\dots ,a_i+1,\dots ,a_j-1,\dots ,a_n)$。任意乘积 $R={\prod }_{i<j}{R}_{ij}^{r_{ij}}$ 称为提升算子。
• 性质：
  • $Ra\ge a$。
  • 若 $a\le b$ 且分量和相等，则存在提升算子 $R$ 使得 $b=Ra$。
  • 若 $\lambda >\mu$ 且相邻，则存在 $i<j$ 使得 $\lambda =R_{ij}\mu$。

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命题与推论总结

命题 (1.7)

陈述：设 $\lambda$ 是分拆，$m\ge {\lambda }_1$, $n\ge {\lambda }_1^{\prime }$。则以下 $m+n$ 个数：
$${\lambda }_i+n-i(1\le i\le n),n-1+j-{\lambda }_j^{\prime }(1\le j\le m)$$
是 {0,1,…,m+n−1}\{0, 1, \ldots, m+n-1\}{0,1,…,m+n−1} 的一个排列。

证明思路：通过 $\lambda$ 的图与矩形 $(m^n)$ 的补集边界编号，利用几何对应关系证明。

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命题 (1.9)

陈述：$\lambda ,\mu \in {\mathcal{P}}_n$，则 $(\lambda ,\mu )\in L_n^{\prime }\iff ({\mu }^{\prime },{\lambda }^{\prime })\in L_n$。

证明思路：通过比较分拆的列长度，利用共轭关系导出序关系。

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命题 (1.10)

陈述：$\lambda \ge \mu \Rightarrow (\lambda ,\mu )\in L_n\cap L_n^{\prime }$。

证明思路：由自然序定义逐项比较，结合部分和的性质导出字典序关系。

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命题 (1.11)

陈述：$\lambda \ge \mu \iff {\mu }^{\prime }\ge {\lambda }^{\prime }$。

证明思路：

• 假设 ${\mu }^{\prime }\ngeqq {\lambda }^{\prime }$，则存在 $i$ 使得 ${\lambda }_1^{\prime }+\dots +{\lambda }_i^{\prime }>{\mu }_1^{\prime }+\dots +{\mu }_i^{\prime }$。
• 通过列和与行和的关系导出矛盾，从而证明等价性。

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命题 (1.12)

陈述：$a\in P_n\iff a\ge wa$ 对所有 $w\in S_n$。

证明思路：

• 若 $a\in P_n$，则任意排列 $b=wa$ 满足部分和不等式。
• 反之，若 $a\ge wa$ 对所有 $w$，特别取对换可推出 $a_i\ge a_{i+1}$。

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命题 (1.13)

陈述：设 $a\in P_n$，则对任意 $w\in S_n$，有 $(a+\delta -w\delta {)}^{+}\ge a$（其中 $\delta =(n-1,n-2,\dots ,0)$）。

证明思路：利用 $\delta \ge w\delta$ 和 $a+\delta -w\delta \ge a$，结合 $a^{+}$ 的定义导出不等式。

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命题 (1.14)

陈述：$Ra\ge a$ 对任意提升算子 $R$。

证明思路：单步提升算子 $R_{ij}$ 显然保持序关系，推广至乘积形式。

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命题 (1.15)

陈述：若 $a\le b$ 且分量和相等，则存在提升算子 $R$ 使得 $b=Ra$。

证明思路：构造 $R={\prod }_{k=1}^{n-1}{R}_{k,k+1}^{r_k}$，其中 $r_k={\sum }_{i=1}^k(b_i-a_i)$，通过逐列调整差值。

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命题 (1.16)

陈述：若 $\lambda >\mu$ 且相邻，则存在 $i<j$ 使得 $\lambda =R_{ij}\mu$。

证明思路：

• 若 ${\lambda }_1>{\mu }_1$，找到最小 $i$ 使得部分和相等，利用 $R_{1i}$ 构造 $\nu$ 满足 $\lambda \ge \nu$，从而 $\lambda =\nu$。
• 若 ${\lambda }_1={\mu }_1$，对尾部应用相同论证。

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例子选讲（部分）

例1：钩长公式

• 钩长：$h(x)=h(i,j)={\lambda }_i+{\lambda }_j^{\prime }-i-j+1$。
• 恒等式：${\prod }_{x\in \lambda }(1-t^{h(x)})=\frac{{\prod }_{i\ge 1}{\prod }_{j=1}^{{\mu }_i}(1-t^j)}{{\prod }_{i<j}(1-t^{{\mu }_i-{\mu }_j})}$，其中 ${\mu }_i={\lambda }_i+n-i$。
• 特例：${\prod }_{x\in \lambda }h(x)=\frac{{\prod }_{i\ge 1}{\mu }_i!}{{\prod }_{i<j}({\mu }_i-{\mu }_j)}$。

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例8：$p$-核与$p$-商

• $p$-核：通过移除长度为 $p$ 的边界条带得到的核，与移除顺序无关。
• $p$-商：分拆的“项链”结构，与 $p$-核一一对应。
• 生成函数：$p$-核的生成函数为 ${\prod }_{n\ge 1}\frac{(1-t^{np}{)}^p}{1-t^n}$。

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例9：严格分拆与双倍图

• 严格分拆：部分互不相同。
• 双倍图：$D(\mu )$ 由移位图 $S(\mu )$ 及其对角线反射合成。
• $p$-横杠核：通过移除长度为 $p$ 的横杠得到的核，与双倍图的 $p$-核对应。

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例11：内容多项式

• 内容多项式：$c_{\lambda }(X)={\prod }_{x\in \lambda }(X+c(x))$，其中 $c(x)=j-i$。
• 模 $p$ 性质：$c_{\lambda }(X)\equiv c_{\mu }(X)(\mathrm{mod}p)$ 当且仅当 $\lambda {\sim }_p\mu$（$p$-核相同）。