黑龙江省建设部网站免费中文网页模板

数据结构笔记之时间复杂度O(n)中的O是什么的缩写，为什么要用O这个字母？

code review!

参考笔记
1.数据结构笔记之时间复杂度O(n)中的O是什么的缩写，为什么要用O这个字母？
2.时间复杂度和空间复杂度探究

1.时间复杂度中的O

时间复杂度中的 O 是 “Order”（阶） 的缩写，表示算法运行时间或空间占用与输入规模之间的增长关系。它起源于数学中的“大 O 表示法”（Big-O Notation），用于描述函数的渐近行为。

1.1.为什么用O？

1. 来源于数学符号
   大 O 表示法最早由德国数学家 Paul Bachmann 在 1894 年的数学文献中提出，并由 Edmund Landau 进一步推广，用于描述函数的增长速度。
   O 在数学中代表 Order of Magnitude（数量级），表示随着输入规模增大，函数的增长趋势如何。

2. 表示一种上界（Upper Bound）
   在算法分析中，O(f(n)) 表示某算法的运行时间不会超过某个函数 f(n) 的增长速度（在输入规模很大的情况下）。这非常符合算法复杂度分析的需求。

3. 简洁且通用
   用一个单一字母 O 表达增长趋势简单明了，避免了复杂的数学符号，让计算机科学家和工程师能更方便地分析和描述算法性能。

1.2.常见时间复杂度的例子

• O(1): 常数时间，比如直接访问数组元素。
• O(n): 线性时间，比如遍历一个长度为 n 的数组。
• O(n²): 二次方时间，比如双重嵌套循环。
• O(log n): 对数时间，比如二分查找。
• O(n log n): 比线性增长稍快，比如快速排序的平均时间复杂度。

总结：O 来自数学中的“大 O 表示法”，表示算法复杂度的增长趋势。它之所以被使用，是因为其来源于数学且能够直观地描述算法性能。

2.某个函数 f(n) 的增长速度

函数 f(n) 的增长速度是指 f(n) 随输入规模 n 增大的变化趋势，也就是描述 f(n) 如何随着 n 增大而增长。它通常用于分析算法的时间复杂度或空间复杂度，帮助我们理解算法在大输入规模下的表现。

2.1.增长速度的直观理解

假设有几个不同的函数 f(n)，我们可以观察它们在输入规模 n 增大时的变化情况：

f(n)	增长速度描述	举例 (n = 1, 10, 100, 1000)
O(1)	常数增长，不随 n 增大而变化	1, 1, 1, 1
O(log n)	对数增长，增长速度极慢	0, 1, 2, 3
O(n)	线性增长，增长速度与 n 成正比	1, 10, 100, 1000
O(n log n)	线性对数增长，比线性略快	1, 23, 664, 9966
O(n²)	二次方增长，增长速度随 n² 增大	1, 100, 10000, 1000000
O(2ⁿ)	指数增长，增长速度非常快	2, 1024, 超大, 超级大
O(n!)	阶乘增长，增速极快，远超指数增长	1, 3628800, 超级大, 超级大

2.2.常见增长速度的比较

按增长速度从慢到快排序：

1. O(1): 常数复杂度，最优增长速度（不随输入规模变化）。
2. O(log n): 对数复杂度，增长速度极慢，比如二分查找。
3. O(n): 线性复杂度，比如遍历一个数组。
4. O(n log n): 线性对数复杂度，比如归并排序或快速排序的平均复杂度。
5. O(n²): 二次复杂度，比如双重循环的算法。
6. O(2ⁿ): 指数复杂度，比如递归解决子集问题。
7. O(n!): 阶乘复杂度，比如全排列或旅行商问题的暴力解法。

2.3.为什么分析增长速度很重要？

1. 预测性能：增长速度直接影响算法在大规模数据上的运行时间。
2. 选择更优算法：通过比较增长速度，可以选择更高效的算法。例如，面对大规模数据时，选择 O(n log n) 的排序算法明显优于 O(n²) 的排序算法。
3. 优化程序：了解增长速度可以帮助我们找出算法瓶颈，优化关键部分的实现。

总结：
函数 f(n) 的增长速度描述了其随输入规模 n 增大的趋势。在算法分析中，我们用大 O 表示法来简化描述，重点关注输入规模很大时的表现。通过比较不同增长速度的函数，我们可以更好地选择和优化算法。

3.具体的函数表达式

如果你想要一些具体函数表达式作为例子，以下是常见的函数增长速度及其具体的数学表示：

3.1.常数时间复杂度 O(1)

• 函数表达式：
  ( f(n) = 5 ) 或 ( f(n) = 100 )
  解释：不管输入规模 ( n ) 的大小，运行时间始终是常数，不会随着 ( n ) 增大而增长。

3.2.对数时间复杂度 O(log n)

• 函数表达式：
  ( f(n) = \log_2 n ) 或 ( f(n) = \log_{10} n + 3 )
  解释：随着 ( n ) 增大，运行时间增长很慢，增长速度是对数级别。例如，二分查找的时间复杂度就是 ( O(\log n) )。

示例：

• 当 ( n = 1 ): ( \log_2(1) = 0 )
• 当 ( n = 10 ): ( \log_2(10) \approx 3.32 )
• 当 ( n = 100 ): ( \log_2(100) \approx 6.64 )

3.3.线性时间复杂度 O(n)

• 函数表达式：
  ( f(n) = n ) 或 ( f(n) = 3n + 5 )
  解释：运行时间与输入