什么是偏自相关函数PACF

要理解偏自相关函数（Partial Autocorrelation Function, PACF），需先从其“前辈”——自相关函数（ACF）入手，再逐步拆解“偏”的核心含义、计算原理及实际应用。

一、铺垫：自相关函数（ACF）的局限性

时间序列的自相关函数（ACF） 衡量的是序列在滞后k阶（即$Y_t$与$Y_{t-k}$）之间的总线性相关程度，记为$\rho (k)$。
例如，滞后2阶的ACF（$\rho (2)$）描述$Y_t$与$Y_{t-2}$的相关性，但这种相关性可能包含间接关联：$Y_t$先关联$Y_{t-1}$，再通过$Y_{t-1}$关联$Y_{t-2}$，即$\rho (2)$是“直接关联+间接关联”的总和。

局限性：ACF无法区分“直接相关”和“间接相关”。而PACF的核心作用，就是消除中间滞后阶数的间接影响，只保留$Y_t$与$Y_{t-k}$的直接线性关联。

二、PACF的核心定义与原理

1. PACF的定义：“偏”=条件相关

偏自相关函数（PACF）衡量的是：在控制所有中间滞后阶数（$Y_{t-1},Y_{t-2},...,Y_{t-k+1}$）的影响后，$Y_t$与$Y_{t-k}$之间的条件线性相关系数，记为${\varphi }_{kk}$（下标“kk”表示“滞后k阶的偏自相关系数”）。

通俗理解：

• 滞后1阶PACF（${\varphi }_{11}$）：无需控制中间变量（无中间阶数），因此${\varphi }_{11}=\rho (1)$（与ACF的滞后1阶相等）。
• 滞后2阶PACF（${\varphi }_{22}$）：控制$Y_{t-1}$后，$Y_t$与$Y_{t-2}$的直接相关。
• 滞后3阶PACF（${\varphi }_{33}$）：控制$Y_{t-1}$和$Y_{t-2}$后，$Y_t$与$Y_{t-3}$的直接相关。

2. PACF的计算原理：Yule-Walker方程法

PACF的计算核心是Yule-Walker方程，本质是通过“多元线性回归”剥离间接关联：
对于滞后k阶，假设$Y_t$可由前k个滞后项线性表示：
$$Y_t={\varphi }_{k1}{Y}_{t-1}+{\varphi }_{k2}{Y}_{t-2}+...+{\varphi }_{kk}{Y}_{t-k}+{\epsilon }_t$$
其中，${\epsilon }_t$是白噪声（无自相关的误差项）。

通过最小化误差平方和，可得到一组线性方程组（Yule-Walker方程）：
$$\{\begin{array}{l}\rho (0){\varphi }_{k1}+\rho (1){\varphi }_{k2}+...+\rho (k-1){\varphi }_{kk}=\rho (1)\\ \rho (1){\varphi }_{k1}+\rho (0){\varphi }_{k2}+...+\rho (k-2){\varphi }_{kk}=\rho (2)\\ ...\\ \rho (k-1){\varphi }_{k1}+\rho (k-2){\varphi }_{k2}+...+\rho (0){\varphi }_{kk}=\rho (k)\end{array}$$
由于$\rho (0)=1$（序列与自身的相关系数为1），解此方程组得到的${\varphi }_{kk}$，就是滞后k阶的PACF值。

3. PACF的图形解读：截尾与拖尾

实际分析中，我们通过PACF图（横轴为滞后阶数k，纵轴为${\varphi }_{kk}$，附带95%置信区间$\pm 2/\sqrt{n}$，n为样本量）判断序列特征，核心是“截尾”和“拖尾”：

• 截尾：当k超过某个阶数p后，${\varphi }_{kk}$突然落入置信区间内（接近0），说明滞后k阶及以后无直接相关。
• 拖尾：${\varphi }_{kk}$缓慢衰减但始终不落入置信区间，说明存在长期间接相关。

PACF的最大应用是识别自回归模型（AR）的阶数：AR§模型的PACF会在滞后p阶处截尾（这是AR模型的核心特征）。

三、3个实例：理解PACF的应用

以下实例均基于“平稳时间序列”（非平稳序列需先差分，PACF仅适用于平稳序列），通过“模型设定→理论PACF特征→计算验证→图形解读”展开。

实例1：平稳白噪声序列（WN）——PACF全截尾

模型设定

白噪声序列是最基础的平稳序列，满足：

• 均值$E(Y_t)=0$
• 方差$Var(Y_t)={\sigma }^2$（常数）
• 自相关系数：$\rho (k)=0$（对所有$k\ge 1$，即无任何自相关）

例如：$Y_t={\epsilon }_t$，其中${\epsilon }_t\sim N(0,1)$（标准正态白噪声）。

理论PACF特征

由于白噪声无任何自相关（直接或间接），因此对所有滞后阶数k≥1，PACF值${\varphi }_{kk}\approx 0$，且落入95%置信区间内（截尾于k=0）。

计算验证

• 滞后1阶（k=1）：Yule-Walker方程为$\rho (0){\varphi }_{11}=\rho (1)$，代入$\rho (0)=1$、$\rho (1)=0$，得${\varphi }_{11}=0$。
• 滞后2阶（k=2）：方程为$\{\begin{array}{l}{\varphi }_{21}=0\\ {\varphi }_{21}+{\varphi }_{22}=0\end{array}$，解得${\varphi }_{22}=0$。
• 滞后k≥3：同理，${\varphi }_{kk}=0$。

图形解读

PACF图中，所有滞后阶数的${\varphi }_{kk}$均在$\pm 2/\sqrt{n}$（如n=100时，置信区间为±0.2）内波动，无任何显著不为0的点。

应用意义

白噪声序列是“无信息”序列，无需建模（建模无法提取更多规律）。PACF全截尾是判断序列为白噪声的核心依据之一。

实例2：一阶自回归模型（AR(1)）——PACF截尾于k=1

模型设定

AR(1)是最常见的AR模型，满足：
$$Y_t=\varphi Y_{t-1}+{\epsilon }_t$$
其中：

• $\varphi$为自回归系数（需满足$|\varphi |<1$，保证序列平稳）
• ${\epsilon }_t\sim WN(0,{\sigma }^2)$（白噪声误差）

例如：取$\varphi =0.6$（正相关），则模型为$Y_t=0.6Y_{t-1}+{\epsilon }_t$，${\epsilon }_t\sim N(0,1)$。

理论PACF特征

AR(1)的核心特征：PACF在滞后1阶处显著不为0，滞后2阶及以后截尾（${\varphi }_{kk}=0$）。
原因：AR(1)中，$Y_t$仅直接依赖$Y_{t-1}$，与$Y_{t-2},Y_{t-3},...$的关联均通过$Y_{t-1}$间接传递，控制$Y_{t-1}$后，直接关联消失。

计算验证

1. 先计算ACF（需用ACF推导PACF）：
   AR(1)的自相关系数为$\rho (k)={\varphi }^k$（指数衰减），因此：

• $\rho (1)=0.6^1=0.6$
• $\rho (2)=0.6^2=0.36$
• $\rho (3)=0.6^3=0.216$

2. 计算PACF：

• 滞后1阶（k=1）：${\varphi }_{11}=\rho (1)=0.6$（显著不为0）。
• 滞后2阶（k=2）：代入Yule-Walker方程：
  $$\{\begin{array}{l}{\varphi }_{21}+\rho (1){\varphi }_{22}=\rho (1)\\ \rho (1){\varphi }_{21}+{\varphi }_{22}=\rho (2)\end{array}$$
  代入$\rho (1)=0.6$、$\rho (2)=0.36$，解得${\varphi }_{22}=0$（截尾）。
• 滞后3阶（k=3）：同理，解方程组得${\varphi }_{33}=0$（持续截尾）。

图形解读

• 滞后1阶：${\varphi }_{11}=0.6$，超出95%置信区间（如n=100时±0.2），显著不为0。
• 滞后2阶及以后：${\varphi }_{kk}\approx 0$，均在置信区间内。

应用意义

通过PACF截尾于k=1，可判断序列符合AR(1)模型，无需尝试更高阶的AR模型（如AR(2)）。

实例3：二阶自回归模型（AR(2)）——PACF截尾于k=2

模型设定

AR(2)模型满足：
$$Y_t={\varphi }_1{Y}_{t-1}+{\varphi }_2{Y}_{t-2}+{\epsilon }_t$$
其中：

• ${\varphi }_1,{\varphi }_2$为自回归系数（需满足平稳条件：${\varphi }_1+{\varphi }_2<1$、${\varphi }_2-{\varphi }_1<1$、$|{\varphi }_2|<1$）
• ${\epsilon }_t\sim WN(0,{\sigma }^2)$

例如：取${\varphi }_1=0.5$、${\varphi }_2=0.3$（均满足平稳条件），模型为$Y_t=0.5Y_{t-1}+0.3Y_{t-2}+{\epsilon }_t$，${\epsilon }_t\sim N(0,1)$。

理论PACF特征

AR(2)的核心特征：PACF在滞后1、2阶处显著不为0，滞后3阶及以后截尾。
原因：$Y_t$直接依赖$Y_{t-1}$和$Y_{t-2}$，与$Y_{t-3},Y_{t-4},...$的关联需通过前两阶间接传递，控制前两阶后，直接关联消失。

计算验证

1. 先计算ACF（AR(2)的ACF满足$\rho (k)={\varphi }_1\rho (k-1)+{\varphi }_2\rho (k-2)$）：

• $\rho (0)=1$
• $\rho (1)=\frac{{\varphi }_1}{1-{\varphi }_2}=\frac{0.5}{1-0.3}\approx 0.714$
• $\rho (2)={\varphi }_1\rho (1)+{\varphi }_2\rho (0)=0.5\times 0.714+0.3\times 1\approx 0.657$
• $\rho (3)={\varphi }_1\rho (2)+{\varphi }_2\rho (1)=0.5\times 0.657+0.3\times 0.714\approx 0.542$

2. 计算PACF：

• 滞后1阶（k=1）：${\varphi }_{11}=\rho (1)\approx 0.714$（显著）。
• 滞后2阶（k=2）：代入Yule-Walker方程：
  $$\{\begin{array}{l}{\varphi }_{21}+\rho (1){\varphi }_{22}=\rho (1)\\ \rho (1){\varphi }_{21}+{\varphi }_{22}=\rho (2)\end{array}$$
  代入$\rho (1)=0.714$、$\rho (2)=0.657$，解得${\varphi }_{22}\approx 0.3$（显著不为0）。
• 滞后3阶（k=3）：解方程组得${\varphi }_{33}=0$（截尾）。

图形解读

• 滞后1、2阶：${\varphi }_{11}\approx 0.714$、${\varphi }_{22}\approx 0.3$，均超出95%置信区间（如n=100时±0.2）。
• 滞后3阶及以后：${\varphi }_{kk}\approx 0$，落入置信区间内。

应用意义

通过PACF截尾于k=2，可判断序列符合AR(2)模型，这是时间序列建模中“定阶”的关键步骤（如ARIMA模型的AR部分阶数确定）。

四、总结：PACF的核心价值

1. 定义本质：消除中间滞后阶数的间接影响，衡量$Y_t$与$Y_{t-k}$的直接线性相关。
2. 计算核心：通过Yule-Walker方程求解多元线性回归的第k个系数。
3. 关键特征：AR§模型的PACF在滞后p阶处截尾（这是识别AR阶数的“黄金标准”）。
4. 应用场景：时间序列建模（如ARIMA、SARIMA）中的“AR部分阶数确定”，以及判断序列是否为白噪声。

通过上述3个实例，可清晰看到：PACF的“截尾阶数”直接对应AR模型的阶数，是时间序列分析中不可或缺的工具。