球盒魔术：两千白球挑战与不变量

球盒魔术：$2000$白球的终极挑战与不变量的数学魔法

——用一道题解锁分类讨论与操作不变量的核心思想

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问题描述

【题目】一个盒子中有$2000$个白球，另有无限多的白球、绿球和红球（不在盒中）。允许以下操作：

1. 拿出$2$个白球 → 放入$1$个绿球
2. 拿出$2$个红球 → 放入$1$个绿球
3. 拿出$2$个绿球 → 放入$1$个白球和$1$个红球
4. 拿出$1$白$1$绿 → 放入$1$个红球
5. 拿出$1$绿$1$红 → 放入$1$个白球

问题：

1. 若最终盒中剩$3$个球，证明至少$1$个是绿球．
2. 能否通过有限次操作使盒中只剩$1$个球？

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破题思路

第一步：理解操作的本质

这道题像一场"球盒魔术"，每次操作都在改变球的颜色和数量．但魔术背后必有规律可循！我们需要找到一个不变量——某种在操作前后保持不变的量，就像魔术师的秘密道具．

第二步：寻找不变量

设盒中白、绿、红球数量分别为$x$、$y$、$z$，定义函数：
$$T=x+2y+3z$$
验证操作对$T$的影响：

• 操作1：$x\to x-2$，$y\to y+1$
  $\Rightarrow$ $T$变化：$-2+2\times 1=0$（不变）
• 操作3：$y\to y-2$，$x\to x+1$，$z\to z+1$
  $\Rightarrow$$T$变化：$1+2\times (-2)+3\times 1=0$（不变）
• 操作4：$x\to x-1$，$y\to y-1$，$z\to z+1$
  $\Rightarrow$$T$变化：$-1+2\times (-1)+3\times 1=0$（不变）
• 操作2和5：$T$减少4（但初始$T=2000\equiv 0(\mathrm{mod}4)$，模$4$下仍不变）

结论：$T\equiv 0(\mathrm{mod}4)$始终成立！这就是我们的"魔法钥匙"．

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关键推导

Q1：剩3个球时必有绿球

假设剩余3个球无绿球（$y=0$），则$x+z=3$，且：
$$T=x+3z\equiv 0(\mathrm{mod}4)$$
尝试所有可能组合：

• $(3,0)$：$T=3\not\equiv 0$ ❌
• $(2,1)$：$T=5\not\equiv 0$ ❌
• $(1,2)$：$T=7\not\equiv 0$ ❌
• $(0,3)$：$T=9\not\equiv 0$ ❌
  矛盾！故至少$1$个绿球（$y\ge 1$）．

Q2：能否只剩1个球？

若剩1个球，$x+y+z=1$，则$T$的可能值：

• 白球：$T=1$
• 绿球：$T=2$
• 红球：$T=3$
  均与$T\equiv 0(\mathrm{mod}4)$矛盾！无法实现．

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通用解题策略

1. 找不变量：遇到操作类问题，优先构造关于变量的线性组合，验证操作前后的不变性．
2. 模分析：通过模运算简化问题（如本题模$4$）．
3. 穷举验证：对剩余球数较少的情况，直接枚举所有可能．