筛法（Sieve Method）简介

筛法（Sieve Method）简介

筛法是一种用于解决素数问题的高效算法，特别适用于找出一定范围内的所有素数。筛法的基本思想是，通过逐步标记非素数，从而筛选出素数。最常见的筛法是 埃氏筛法（Sieve of Eratosthenes），用于找出从1到n的所有素数。其时间复杂度较低，适用于大范围素数的查找。

在这篇文章中，我们将详细介绍埃氏筛法的实现原理，并给出 C++ 代码实现。

埃氏筛法（Sieve of Eratosthenes）

埃氏筛法的核心思想是：

1. 从2开始，将所有倍数标记为非素数（即合数）。
2. 对每个尚未被标记为合数的数，标记其倍数为合数，直到当前数的平方大于n为止。
3. 剩下的未被标记的数即为素数。

算法步骤

1. 初始化一个布尔数组 is_prime，假设所有数都为素数（值为true）。
2. 从2开始，对于每一个数 p，如果它是素数，则标记 p 的所有倍数为合数（false）。
3. 重复上述过程直到 p * p > n。
4. 最终，所有 is_prime[i] 为true的数 i 就是素数。

C++代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;class SieveOfEratosthenes {
public:// 构造函数，初始化筛法SieveOfEratosthenes(int n) : n(n) {is_prime.resize(n + 1, true); // 初始化所有数为素数is_prime[0] = is_prime[1] = false; // 0 和 1 不是素数}// 执行筛法，找出所有小于等于 n 的素数void sieve() {for (int p = 2; p * p <= n; p++) {if (is_prime[p]) { // 如果 p 是素数// 标记 p 的所有倍数为合数for (int i = p * p; i <= n; i += p) {is_prime[i] = false;}}}}// 输出所有素数void printPrimes() {for (int i = 2; i <= n; i++) {if (is_prime[i]) {cout << i << " ";}}cout << endl;}private:int n;vector<bool> is_prime;
};int main() {int n;cout << "Enter the upper limit (n): ";cin >> n;// 创建筛法对象SieveOfEratosthenes sieve(n);// 执行筛法sieve.sieve();// 输出结果cout << "Prime numbers up to " << n << " are: ";sieve.printPrimes();return 0;
}

代码解析

1. SieveOfEratosthenes 类：

   • 构造函数接受一个整数 n，表示我们要筛选的范围。
   • is_prime 是一个布尔类型的数组，is_prime[i] 为 true 表示 i 是素数，为 false 表示 i 不是素数。初始化时，我们假设所有数字都是素数。
   • sieve() 方法执行埃氏筛法，从 2 开始标记所有倍数为合数。
   • printPrimes() 方法用于输出所有的素数。

2. main 函数：

   • 用户输入上限 n。
   • 创建 SieveOfEratosthenes 类的实例，调用 sieve() 方法筛选素数，最后通过 printPrimes() 输出所有素数。

运行示例

Enter the upper limit (n): 50
Prime numbers up to 50 are: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 

时间复杂度

• 初始化数组 is_prime 的时间复杂度是 (O(n))。
• 外层循环从 2 到 ( \sqrt{n} )，因此最多执行 (O(\sqrt{n})) 次。
• 内层循环每次遍历 p 的倍数，总共执行 (O(n \log \log n)) 次。

因此，埃氏筛法的时间复杂度是 (O(n \log \log n))，这使得它在处理较大范围的素数时非常高效。

空间复杂度

• 我们使用一个大小为 n+1 的布尔数组 is_prime 来存储每个数字是否是素数。因此，空间复杂度是 (O(n))。

优化：空间复杂度优化

我们还可以优化空间使用。例如，只存储小于 ( \sqrt{n} ) 的素数，并利用这些素数来筛选更大的数。这种优化被称为 线性筛法，可以进一步提高空间效率。

结论

埃氏筛法是一种非常高效的算法，能够快速找到一定范围内的所有素数。它的时间复杂度为 (O(n \log \log n))，适用于大规模素数查找问题。如果想要进一步优化，可以结合线性筛法进行空间优化。