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老题新解|求 10000 以内 n 的阶乘

news 2025/10/13 14:06:49

《信息学奥赛一本通》第168题：求10000以内n的阶乘

求10,000以内n的阶乘。
输入：
只有一行输入，整数n（0<=n<=10，000）。
输出：
一行，即n！的值。
样例输入：
100
样例输出：
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000

大家好，我是莫小特。
这篇文章给大家带来《信息学奥赛一本通》中的第 168 题：求 10000 以内 n 的阶乘。

一、题目描述

求10,000以内n的阶乘。
输入：
只有一行输入，整数n（0<=n<=10，000）。
输出：
一行，即n！的值。
样例输入：
100
样例输出：
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000

二、题意分析

这道题是信息学奥赛一本通练习题的第 168 题。

输入格式为一行一个整数 n，使用 int 类型。

int n;
cin>>n;

对于小的 n（例如 n ≤ 20），直接用 long long 计算 n! 是没问题的，但当 n ≥ 21 时，阶乘的值就已经超过了 long long 的范围。

所以只能使用高精度算法才能实现。

我们知道：

$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$

我们可以用一个数组 a[] 来保存每一位数字（倒序存储更方便计算），然后依次模拟手工乘法：

（1）初始化：a[1] = 1，表示当前结果是 1。

a[1] = 1;           // 初始结果为 1

（2）逐步相乘：依次乘以 2、3、4、…、n。

使用 for 循环实现。

for (int i = 1; i <= n; ++i) // 从 1 乘到 n

（3）模拟竖式乘法：

每次循环将 a[j] 乘以当前的 i，再加上上一位的进位，结果对 10 取模存回当前位，商部分作为下一位的进位。

 x = 0;           // 每次从无进位开始
for (int j = 1; j <= len; ++j)
{a[j] = a[j] * i + x; // 当前位乘 i 并加上进位x = a[j] / 10;       // 计算新的进位a[j] %= 10;          // 保留个位数字
}

（4）判断是否需要增加长度：如果进位使得新的一位非零，就增加 len。

// 若乘完后还有进位，则继续加位
while (x > 0)
{a[++len] = x % 10;x /= 10;
}

（5）输出时倒序打印（因为低位存在前面）。

// 输出结果（倒序）
for (int i = len; i >= 1; --i)cout << a[i];

按照样例输入对数据进行验证。

符合样例输出结果。

三、完整代码

该题的完整代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;int a[40010], n, x, len = 1;int main()
{cin >> n;           // 输入 na[1] = 1;           // 初始结果为 1for (int i = 1; i <= n; ++i) // 从 1 乘到 n{x = 0;           // 每次从无进位开始for (int j = 1; j <= len; ++j){a[j] = a[j] * i + x; // 当前位乘 i 并加上进位x = a[j] / 10;       // 计算新的进位a[j] %= 10;          // 保留个位数字}// 若乘完后还有进位，则继续加位while (x > 0){a[++len] = x % 10;x /= 10;}}// 输出结果（倒序）for (int i = len; i >= 1; --i)cout << a[i];cout << endl;return 0;
}