2.1 阵列信号处理基础

2.1 阵列信号处理基础

2.1.1 信源和噪声模型

2.1.1.1 窄带信号

​ 窄带信号是指信号带宽远小于其中心频率的信号，数学表达式为：
$$W_B/f_0<1/10$$
其中$W_B$为信号带宽，$f_0$为中心频率
​ 窄带信号的一般表达形式：
$$s(t)=a(t)e^{j[{\omega }_{0}t+\theta (t)]}$$
其中，$a(t)$为慢变幅度调制函数（实包络）；$\theta (t)$为慢变相位调制函数；${\omega }_0=2\pi f_0$为载频；$a(t)$和$\theta (t)$包含全部有用信息。正弦信号和余弦信号（统称正弦型信号）是典型的窄带信号

2.1.1,2 相关系数

​ 相关系数（互相关系数）用于衡量多个接收信号之间的关联程度。对于两个平稳信号 $s_i(t)$和$s_j(t)$，其相关系数定义为：
ρij=E{[si(t)−E[si(t)]][sj(t)−E[sj(t)]]}E{[si(t)−E[si(t)]]2}E{[sj(t)−E[sj(t)]]2}\rho_{ij} = \frac{E\left\{ \left[ s_i(t) - E\left[ s_i(t) \right] \right] \left[ s_j(t) - E\left[ s_j(t) \right] \right] \right\}}{\sqrt{E\left\{ \left[ s_i(t) - E\left[ s_i(t) \right] \right]^2 \right\} E\left\{ \left[ s_j(t) - E\left[ s_j(t) \right] \right]^2 \right\}}} ρij​=E{[si​(t)−E[si​(t)]]2}E{[sj​(t)−E[sj​(t)]]2}​E{[si​(t)−E[si​(t)]][sj​(t)−E[sj​(t)]]}​
相关系数满足：$|{\rho }_{ij}|\le 1$。根据相关系数的值，信号间的相关性可分为：

相关系数值	相关性描述	说明
${\rho }_{ij}=0$	不相关（不相干）	两信号完全独立
$0<{\rho }_{ij}<1$	部分相关	两信号有一定关联
${\rho }_{ij}=1$	完全相关（相干）	两信号完全关联

2.1.1.3 噪声模型

​ 在阵列信号处理中，通常对噪声做以下假设：

• 阵元接收到的噪声均假设为平稳零均值高斯白噪声；
• 方差为${\sigma }^2$
• 各阵元间的噪声互不相关，且与目标源不相关。
  这样，噪声向量 $\mathbf{n}(t)$的二阶矩就满足：
  $$\begin{gathered} E\left\{\mathbf{n}(t_1){\mathbf{n}}^H(t_2)\right\}={\sigma }^2\mathbf{I}{\delta }_{t_1,t_2} \\ E\left\{\mathbf{n}(t_1){\mathbf{n}}^T(t_2)\right\}=\mathbf{O} \end{gathered}$$
  其中， $\mathbf{I}$是单位矩阵，$\mathbf{O}$是零矩阵， ${\delta }_{t_1,t_2}$为Kronecker delta函数

2.1.2 阵列天线的统计模型

2.1.2.1 前提及假设

1. 接收阵列的假设：

• 阵元特性：位于空间中已知坐标处的无源阵元；阵元可视为点源（忽略尺寸影响）；全向阵元，增益均相等；互耦可忽略不计
• 噪声假设：；加性高斯白噪声；各阵元噪声相互统计独立；噪声与信号统计独立

2. 信源信号的假设：

• 传播介质：均匀且各向同性
• 传播方式：直线传播
• 远场条件：
  • 阵列处于空间信号辐射的远场中
  • 空间信号到达阵列时为平面波
  • 不同时延由阵列几何结构和波达方向决定
• 方向参数：仰角 $\theta$；方位角$\varphi$

3. 信号类型：

• 主要讨论窄带信号，窄带信号特点：信号包络带宽相对载频很窄（包络慢变）
• 同一时刻信号对各阵元的影响差异仅在相位上

2.1.2.2 阵列的基本概念

1. 基本信号模型：设信号载波为 $e^{j\omega t}$，以平面波形式沿波数向量$\mathbf{k}$的方向传播。距离基准点 $\mathbf{r}$处的阵元接收信号为：
   $$s_r(t)=s(t-\frac{1}{c}{\mathbf{r}}^T\alpha )e^{j(\omega t-{\mathbf{r}}^T\mathbf{k})}$$
   其中：$\mathbf{k}$为波数向量；$\alpha =\mathbf{k}/|\mathbf{k}|$ 电波传播方向的单位向量；$|\mathbf{k}|=\omega /c=2\pi /\lambda$为波数（弧度/长度）；$c$为光速；$\lambda$为电磁波波长；$(1/c){\mathbf{r}}^T\alpha$为为信号相对于基准点 的时延；${\mathbf{r}}^T\mathbf{k}$为电波传播到距离基准点$\mathbf{r}$处的阵元相对电波传播到基准点的滞后相位。显然波数向量可表示为：
   $$\mathbf{k}=k[\cos \theta ,\sin \theta {]}^T$$
2. 方向向量（导向向量）：对于M个阵元的阵列，方向向量定义为：
   $$\mathbf{a}(\theta )={\left[1,{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\overline{\mathbf{r}}}_2^{\mathrm{T}}\mathbf{k}},\dots ,{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\overline{\mathbf{r}}}_M^{\mathrm{T}}\mathbf{k}}\right]}^{\mathrm{T}}$$
   其中${\overline{\mathbf{r}}}_i={\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_1,i=2,3,\dots ,M$。方向向量与基准点位置无关，必须与仰角θ一一对应，不能出现模糊。
3. 阵列流形：改变仰角$\theta$，使方向向量 $\mathbf{a}(\theta )$在$M$维空间内扫描所形成的曲面。数学表示：
   A={a(θ)∣θ∈Θ}\mathbf{A} = \{ \mathbf{a}(\theta) | \theta \in \Theta \} A={a(θ)∣θ∈Θ}
   式中，$\Theta =[0,2\pi )$是$\theta$ 所有可能取值的集合。阵列流形$\mathbf{A}$就是阵列方向向量（或阵列响应向量）的集合。阵列流形$\mathbf{A}$包含阵列几何结构、阵元模式、阵元间的耦合、频率等信息。

2.1.2.3 天线阵列模型

设$M$个阵元的任意阵列，$K$个窄带平面波信号$（M>K）$，来向角为 ${\Theta }_1,{\Theta }_2,...,{\Theta }_K$。第m个阵元输出：
$$x_m(t)=\sum _{i=1}^K{s}_i(t)e^{j{\omega }_0{\tau }_m({\Theta }_i)}+n_m(t)$$
矩阵形式：
$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{A}(\Theta )\mathbf{s}(t)+\mathbf{n}(t)$$

• $\mathbf{x}(t)=[x_1(t),x_2(t),\dots ,x_M(t){]}^T$ 阵列输出向量
• $\mathbf{s}(t)=[s_1(t),s_2(t),\dots ,s_K(t){]}^T$ 信源信号向量
• $\mathbf{n}(t)=[n_1(t),n_2(t),\dots ,n_M(t){]}^T$ 噪声向量
• $\mathbf{A}(\Theta )=[\mathbf{a}({\Theta }_1),\mathbf{a}({\Theta }_2),\dots ,\mathbf{a}({\Theta }_K)]$ 方向矩阵$（M\times K）$

2.1.2.4 阵列的方向图

​ 定义为：阵列输出的绝对值与波达方向之间的关系。
​ 分类：

• 静态方向图：直接相加，不考虑信号指向
• 带指向方向图：通过控制加权相位实现信号指向
  阵列输出：
  $$x_l=g_0{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega {\tau }_l},l=1,2,\dots ,M$$
  式中，$g_0$为来波的复振幅；${\tau }_l$为第 $l$个阵元与基准点之间的时延。设第$l$个阵元的权值为${\omega }_l$，将所有阵元加权的输出相加，得到阵列的输出为：
  $$Y_0=\sum _{l=1}^M{\omega }_l{g}_0{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega {\tau }_l},l=1,2,\dots ,M$$
  对上式取绝对值并进行归一化后可得到空间阵列的方向图$G(\theta) $，即：
  G(θ)=∣Y0∣max⁡{∣Y0∣}G(\theta) = \frac{|Y_0|}{\max\{|Y_0|\}} G(θ)=max{∣Y0​∣}∣Y0​∣​
  若${\omega }_l=1$则称为静态方向图

2.1.3.5 波束宽度

波束宽度是描述阵列天线方向性图主瓣宽度的参数，反映了阵列的空间选择性和分辨能力。

2.1.3.6 分辨率

定义：在某方向上对信源的分辨率与该方向附近阵列方向向量的变化率直接相关
分辨率度量：
$$D(\theta )=\Vert \frac{d\mathbf{a}(\theta )}{d\theta }\Vert \propto \Vert \frac{d\tau }{d\theta }\Vert$$
$D(\theta )$越大，该方向上对信源的分辨率越高
均匀线阵的分辨率：$D(\theta )\propto \cos \theta$

2.1.3.7 总结

• 前提及假设 - 阐述了阵列信号处理的基本假设条件

• 阵列基本概念 - 介绍了方向向量、阵列流形等核心概念

• 天线阵列模型 - 建立了阵列信号的数学模型

• 阵列方向图 - 分析了阵列的空间选择性

• 波束宽度 - 量化了阵列的空间分辨能力

• 分辨率 - 讨论了不同方向上的分辨性能

2.1.3 阵列协方差矩阵的特征值分解

​ 可以定义阵列输出信号 x（t）的协方差矩阵为：
$$\mathbf{R}=E\left\{\left[\mathbf{x}(t)-{\mathbf{m}}_x(t)\right]{\left[\mathbf{x}(t)-{\mathbf{m}}_x(t)\right]}^{\text{H}}\right\}$$
式中，${\mathbf{m}}_x(t)=E\left[\mathbf{x}(t)\right]$，且${\mathbf{m}}_x(t)=0$，因此，有
$$\mathbf{R}=E\left\{\mathbf{x}(t){\mathbf{x}}^{\text{H}}(t)\right\}=E\left\{\left[\mathbf{A}(\theta )\mathbf{s}(t)+\mathbf{n}(t)\right]{\left[\mathbf{A}(\theta )\mathbf{s}(t)+\mathbf{n}(t)\right]}^{\text{H}}\right\}$$
此外，还必须满足以下几个条件：

• $M>K$，即阵元个数$ M$ 要大于该阵列系统可能接收到的信号的个数。
• 对应不同的信号来向${\theta }_i(i=1,2,\cdots ,K)$，信号的方向向量 $\mathbf{a}({\theta }_i)$是线性独立的。
• 阵列中噪声$n(t)$过程具有高斯分布特性，而且有
  • E{n(t)}=OE\{\boldsymbol{n}(t)\} = \boldsymbol{O}E{n(t)}=O
  • E{n(t)nH(t)}=σ2IE\{\boldsymbol{n}(t)\boldsymbol{n}^{\text{H}}(t)\} = \sigma^2 \boldsymbol{I}E{n(t)nH(t)}=σ2I，即白噪声
  • E{n(t)sT(t)}=OE\{\boldsymbol{n}(t)\boldsymbol{s}^{\text{T}}(t)\} = \boldsymbol{O}E{n(t)sT(t)}=O，即噪声与信号不相关
• 信源信号向量 $s(t)$的协方差矩阵，即Rs=E{s(t)(s)H(t)}\mathbf{R}_s=E\{\mathbf{s}(t)\mathbf(s)^H(t)\}Rs​=E{s(t)(s)H(t)}是对角非奇异矩阵，这表明信源信号是不相干的。
  由以上各式可得出：
  $$\mathbf{R}=\mathbf{A}(\theta ){\mathbf{R}}_{\text{s}}{\mathbf{A}}^{\text{H}}(\theta )+{\sigma }^2\mathbf{I}$$
  式中，$\mathbf{A}(\theta )$ 为方向矩阵；${\mathbf{R}}_{\text{s}}$为信源的协方差矩阵；${\sigma }^2$是噪声功率。可以证明$\mathbf{R}$是非奇异的，且${\mathbf{R}}^H=\mathbf{R}$，因此$\mathbf{R}$为正定 Hermitian 方阵。若利用酉变换实现对角化，则其相似对角矩阵由$M$个不同 的正实数组成，与之对应的 $M$个特征向量是线性独立的。因此，$\mathbf{R}$的特征值分解可以写为：
  $$\mathbf{R}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{U}}^{\text{H}}=\sum _{i=1}^M{\lambda }_i{\mathbf{u}}_i{\mathbf{u}}_i^{\text{H}}$$
  式中，$\mathbf{U}=[{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,\cdots ,{\mathbf{u}}_M]$；$\mathbf{\Sigma }=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_M)$，并且可证明其特征值服从以下排序：${\lambda }_1⩾{\lambda }_2⩾\cdots ⩾{\lambda }_K>{\lambda }_{K+1}=\cdots ={\lambda }_M={\sigma }^2$，即：
• 前$K$个特征值（较大）：与信号有关，数值大于${\sigma }^2$
• 后$M-K$个特征值（较小）：完全由噪声决定，均等于${\sigma }^2$
  这样即可划分信号子空间与噪声子空间：
• 信号子空间${\mathbf{U}}_s$：由前$K$个较大特征值对应的特征向量构成
  • ${\mathbf{U}}_s=[{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,\cdots ,{\mathbf{u}}_K]$
  • ${\mathbf{\Sigma }}_s=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_K)$
• 噪声子空间${\mathbf{U}}_n$：由后M-K个较小特征值对应的特征向量构成
  • ${\mathbf{U}}_s=[{\mathbf{u}}_{K+1},{\mathbf{u}}_{K+2},\cdots ,{\mathbf{u}}_M]$
  • ${\mathbf{\Sigma }}_s=diag({\lambda }_{K+1},{\lambda }_{K+2},\cdots ,{\lambda }_M)={\sigma }^2{\mathbf{I}}_{(M-K)\times (M-K)}$
    因此，可以将$\mathbf{R}$划分为：
    $$\mathbf{R}={\mathbf{U}}_{\text{s}}{\mathbf{\Sigma }}_{\text{s}}{\mathbf{U}}_{\text{s}}^{\text{H}}+{\mathbf{U}}_{\text{n}}{\mathbf{\Sigma }}_{\text{n}}{\mathbf{U}}_{\text{n}}^{\text{H}}$$
    需要指出，在具体实现中，信号协方差矩阵是用采样协方差矩阵$\hat{\mathbf{R}}$代替的，即：
    $$\hat{\mathbf{R}}=\frac{1}{L}\sum _{l=1}^L\mathbf{x}(t_l){\mathbf{x}}^{\text{H}}(t_l)$$
    式中，L是数据的快拍数。同样可以将$\hat{\mathbf{R}}$进行特征值分解得到信号子空间${\hat{\mathbf{U}}}_{\mathbf{s}}$，噪声子空间${\hat{\mathbf{U}}}_{\mathbf{n}}$，以及由特征值组成的对角矩阵${\hat{\mathbf{\Sigma }}}_{\mathbf{s}}$。

2.1.4 相关概念

2.1.4.1 信号功率（Signal Power）

信号功率是信号携带能量的时间平均强度，用于量化信号的 “强弱程度”，是通信和信号处理中衡量信号的核心物理量。

• 对于确定的信号（如$s(t)=Asin(\omega t)$），其功率公式为功率是信号平方的时间平均值（若信号周期为 $T$）
  $$P=\frac{1}{T}{\int }_0^T|s(t){|}^{2}dt$$
• 随机信号（如高斯信号）：功率是信号平方的统计期望（因随机信号的瞬时值不确定，需用概率平均）
  $$P=\mathbb{E}\left[|s(t){|}^2\right]$$
  例如信号$s=x+1j\cdot y(x,y\sim \mathcal{N}(0,1))$，其功率为$\mathbb{E}[x^2+y^2]=1+1=2$

线性功率（Linear Power）

直接用功率的绝对数值表示（如 1W、5mW），是功率的 “原生形态”。其数值与实际能量强度成正比，适合精确计算（如功率叠加、能量预算）；

对数功率（Logarithmic Power）

将线性功率通过对数转换得到，核心是用 “分贝（dB）” 表示，目的是将 “大范围数值” 压缩为 “小范围对数”，更符合人类对强弱的直观感知。
$$P_{dB}=10lo{g}_{10}(\frac{P_{线性}}{P_0})$$
其中 $P_0$ 为参考功率（若归一化到 1 瓦，则$P_0=1$）则$P_{线性}=10^{P_{dB}/10}$

2.1.4.1 信噪比(SNR：Signal-to-Noise Ratio)

信噪比是信号强度与噪声强度的比值，用于衡量信号中有效信息与干扰（噪声）的相对强弱，是评价信号质量的核心指标。表达式如下
$$SN{R}_{线性}=\frac{P_{signal}}{P_{noise}}$$
工程常用，对数形式：
$$SN{R}_{dB}=10lo{g}_{10}(\frac{P_{signal}}{P_{noise}})$$