School Team Contest 2 (Winter Computer School 2010/11) - I. Toys（受限增长字符串）

原题链接：I. Toys

题目大意

玛莎将 $n$ 个玩具（编号隐含为 $1\sim n$）分成若干堆，哥哥萨沙却把所有玩具合并成了一堆。为哄玛莎开心，萨沙需要尝试所有可能的玩具分堆方式，直到玛莎认可；且每次调整只能进行 单次操作（从任意一堆取一个玩具，移到另一堆，或单独成为一个新堆），要求每个分堆方式仅尝试一次，初始状态为所有玩具在同一堆。

样例输入：
第一行输入为测试样例个数

3

样例输出：

5
{1,2,3}
{1,2},{3}
{1},{2,3}
{1},{2},{3}
{1,3},{2}

题目分析

对于一个集合的分区，可以用一个字符串来编码，这个字符串被称为受限增长字符串。

• 受限增长字符串：对于字符串 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，它满足 $a_1=0$ 且 $a_{j+1}\le 1+\max (a_1,\dots ,a_j)$。当且仅当元素 $i$ 和 $j$ 在分区中属于同一个子集时，它们在字符串中对应的字符相等。例如，分区 {1,3},{2},{4}\{1,3\},\{2\},\{4\}{1,3},{2},{4} 的字符串表示为 $0102$。

吉迪恩 - 埃利希发明了一种简便方法来建立受限增长字符串列表，以下简称 埃利希方案。

假设已经有了长度为 $n-1$ 的受限增长字符串列表 $s_1,s_2,\dots ,s_k$，需要从中得到长度为 $n$ 的列表。对于 $s_i=a_1{a}_2\dots a_{n-1}$，令 $m=1+max(a_1,\dots ,a_{n-1})$。如果 $i$ 为奇数，将数字 $0,m,m-1,\dots ,1,$ 依次追加到 $s_i$ 后面，得到长度为 $n$ 的字符串；如果 $i$ 为偶数，则按照 $1,\dots ,m-1,m,0$ 的顺序追加数组。该算法的时间复杂度为 $O(n\cdot B(n))$，其中 $B(n)$ 为贝尔数，是超指数级的增长速度，当 $n=10$ 时约为 $10^5$。

代码答案

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define pb push_back
#define all(x) x.begin(), x.end()using namespace std;
using vi = vector<int>;
using vvi = vector<vector<int>>;
using vstr = vector<string>;// 埃利希方案生成所有长度为 n 的受限增长字符串
vstr Init(int n) {if(n == 1) return {"0"};auto pre = Init(n - 1);vstr res;for(size_t i = 0; i < pre.size(); i++) {auto &s = pre[i];int m = *max_element(all(s)) - '0' + 1;vi app = {0};for(int k = m; k >= 1; k--) app.pb(k);if(i & 1) {for(int j = m; j >= 0; j--) res.pb(s + char('0' + app[j]));} else {for(int j = 0; j <= m; j++) res.pb(s + char('0' + app[j]));}}return res;
}int main() {ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);int n; cin >> n;vstr s = Init(n);cout << s.size() << endl;for(size_t i = 0; i < s.size(); i++) {vvi q;for(int j = 1; j <= n; j++) {int pos = s[i][j - 1] - '0';if(q.size() == pos) q.pb({j});else q[pos].pb(j);}for(size_t j = 0; j < q.size(); j++) {cout << '{';for(size_t k = 0; k < q[j].size(); k++) cout << q[j][k] << ",}"[k == q[j].size() - 1];cout << ",\n"[j == q.size() - 1];}}return 0;
}