十四，数据结构-堆
定义
堆作为一种数据结构来理解的话，也是一种树，其适合特定的场合——即优先队列这种抽象数据结构的实现。堆有不同的类型，以之前树种的二叉树为例，二叉堆也是堆的一种。二叉堆是一种特殊的二叉树，有最大堆和最小堆的区别。
二叉堆是满足下述条件的二叉树：
- 树的每个节点的数值都大于其所有后代节点的数值，这就是堆的条件；
- 树必须是完全的，即树中填满了所有节点，不存在缺失的节点，具体检查方法就是：从左向右检查每层树节点，每个节点都存在，但最下面一层允许有空位的存在，只要空位的右边没有节点就行。
举例如下，下面的二叉树最后一行空位右侧仍然有节点，因此是不完全的：
而下面这棵树，最下面一层空位右侧没有任何节点，因此是完全的
性质
堆源于二叉树，但又不同于二叉树，和二叉树相比，堆是一种弱排序的数据结构（二叉树要求其数左子树所有节点必须小于本身的数值，右子树所有节点数值必须大于本身的数值）。堆最明显的性质就是：根节点的数值总是最大的。这也是堆实现优先队列的优势。这里再补充一下优先队列的定义：相较于FIFO的一般队列，优先队列要求插入时必须按序插入，而不仅仅是从队列末端插入。
操作
堆的主要操作有：插入和删除。删除在头部进行，插入在尾部进行（堆的为节点即树的最下一层最右侧的节点）。
插入
插入步骤如下：
- 创建新节点，存储新值，插入最下层右边空缺的第一个位置，该节点即堆的尾节点；
- 比较新节点和父节点数值大小；
- 如果新节点数值大于父节点数值，则交换双方位置；
- 重复步骤3，把新节点向上移动，直到父节点的数值大于新节点数值（这个移动的过程被叫做上滤）。
从上述步骤中可以看出，该插入操作的效率为O(logN)，N为节点数，因为二叉树如果有N个节点，则大约有logN层。
上述步骤看似简单，但还有个困难，即如何寻找右边空缺的第一个位置，即所谓的尾节点？其实可以通过数组来实现，即可以将二叉堆的数据存进数组（或是标准STL容器中），放置的方法即根节点位于索引0处，然后按照从左到右，从上到下的顺序依次存放，这样就能保证数组的最后一个元素总是尾节点。如下图：
由于通过数组实现堆，这就引出了第二个问题：堆的插入和删除算法需要上滤或者下滤节点，即需要按照每个节点的链接移动，怎么移动？还是需要结合数组的索引，方法如下（结合图）：
- 节点左子结点用公式：(index * 2) + 1表示；
- 节点右子结点用公式：(index * 2) + 2表示；
同时，基于数组的堆，其节点的父节点可以用：（index - 1）/ 2表示（向下取整）。
删除
堆的删除，只删除根节点，这一点和优先队列一致，即只删除优先级最高的数据，步骤如下：
- 尾节点移动到根节点位置，即覆盖/删除了原先的根节点；
- 根节点下滤到正确位置。
下滤步骤如下：
- 比较下滤节点的两个子节点数值的大小；
- 若下滤节点小于两个子节点中较大的，则交换下滤节点和较大的子节点；
- 重复步骤1和步骤2，直到不存在比下滤节点大的子节点为止。
和插入相同，删除的时间复杂度也是O(logN)。
实现
代码实现如下：
#include <vector>
#include <iostream>template<typename T>
class MaxHeap {
private:std::vector<T> data;void heapifyUp(int index) {while (index > 0 && data[index] > data[(index - 1) / 2]) {std::swap(data[index], data[(index - 1) / 2]);index = (index - 1) / 2;}}void heapifyDown(int index) {int size = data.size();while (true) {int largest = index;int left = 2 * index + 1;int right = 2 * index + 2;if (left < size && data[left] > data[largest]) largest = left;if (right < size && data[right] > data[largest]) largest = right;if (largest != index) {std::swap(data[index], data[largest]);index = largest;} else break;}}public:void push(const T& value) {data.push_back(value);heapifyUp(data.size() - 1);}void pop() {if (data.empty()) return;data[0] = data.back();data.pop_back();heapifyDown(0);}T top() const {return data.empty() ? T() : data[0];}bool empty() const {return data.empty();}int size() const {return data.size();}
};用堆实现优先队列，其插入和删除都只需要O(logN)步，非常迅速，相较有序数组实现优先队列，需要O(N)步，堆的弱排序正是其优点。