【11408学习记录】考研数学核心突破：线性代数特征值与特征向量详解+英语长难句精析

数学

线性代数

特征值与特征向量

特征值与特征向量的定义

设 $A$ 是n阶矩阵，$\lambda$ 是一个数，若存在n维非零列向量 $\xi$ ，使得：$A\xi =\lambda \xi$ ，则称 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\xi$ 是 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量.

矩阵的特征值与特征向量的求法

由 $A\xi =\lambda \xi$ 得，$(\lambda E-A)\xi =0$ ，因 $\xi \ne 0$ ，故齐次方程组 $(\lambda E-A)x=0$ 有非零解，于是：

$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -a_{11}& -a_{12}& \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}& \cdots & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots & \lambda -a_{nn}\end{array}\right|=0$$

该式称为 $A$ 的特征方程，是未知量 $\lambda$ 的n次方程，有n个根（重根按照重数计），$\lambda E-A$ 称为特征矩阵，$|\lambda E-A|$ 称为特征多项式.

于是，求解具体型矩阵的特征值与特征向量，一般先用特征方程 $|\lambda E-A|=0$ 求出 $\lambda$ ，再解齐次线性方程组 $(\lambda E-A)x=0$ ，求出特征向量.

英语

每日一句

Students also benefit from learning something about coding before they get to college, where introductory computer-science classes are packed to the brim, which can drive the less-experienced or -determined students away.(2016, Reading Comprehension, Part A Text 1)

词汇

pack: v. 塞满，挤满
brim: n. 口，边沿
drive sb. away: 赶走某人
determined: adj. 有决心的；坚决的；坚定

第一步：找谓语

Students also benefit from learning something about coding before they get to college, where introductory computer-science classes are packed to the brim, which can drive the less-experienced or -determined students away.

第二步：断句

原句存在4处谓语，包含4件事，其谓语分别分布在以下部分：

• benefit 为主句谓语
• get 为 before 引导的时间状语从句谓语
• are packed 为 where 引导的定语从句谓语
• can drive 为 which 引导的定语从句谓语

按照标点、引导词以及谓语动词，可以将原句分为以下分句：

• Students also benefit from learning something about coding —— 主句
• before they get to college, —— 时间状语从句
• where introductory computer-science classes are packed to the brim, —— 定语从句
• which can drive the less-experienced or -determined students away. —— 定语从句

第三步：简化

主句

Students also benefit from learning something about coding

• 主句主语部分：Students
• 主句谓语部分：also benefit
  • 副词：also 修饰主句
  • 动词：benefit 为不及物动词
• 介词短语：from learning something about coding 修饰动词：benefit，表示动作的来源
  • 非谓语动词短语：learning something 为介词：from 的宾语，组成介宾结构
    • 代词：something 为动名词：learning 的宾语
  • 介词短语：about coding 为代词：something 的后置定语，说明具体的对象

去掉主句扩展部分，就得到了主句核心：

• Students …… benefit …… —— 学生 …… 从…… 中受益

时间状语从句

before they get to college,

• 从句引导词：before 引导时间状语从句，修饰主句，说明主句发生的时间
• 从句主语部分：they
• 从句谓语部分：get
• 介词短语：to college 修饰动词：get ，说明动作发生的方向

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• before they get …… —— 在他们前往……之前

定语从句

where introductory computer-science classes are packed to the brim,

• 从句引导词：where 引导非限定性定语从句，解释说明名词：college
• 从句主语部分：introductory computer-science classes
  • 形容词：introductory 和复合名词：computer-science 修饰名词：classes
• 从句谓语部分：are packed 为谓语动词的被动语态
• 从句状语部分：to the brim 修饰动词：packed ，表示方向

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• where …… classes are packed …… —— …… 教室被塞满……

定语从句

which can drive the less-experienced or -determined students away.

• 从句引导词：which 引导非限定性定语从句，补充说明 where 引导的非限定性定语从句
• 从句谓语部分：can drive 为情态动词 + 动词原型，后接宾语
• 从句宾语部分：the less-experienced or -determined students away.
  • 定冠词：the 修饰名词：students
  • 形容词词组：less-experienced or -determined 由并列连词：or 与两个形容词组成的并列结构，修饰名词：students
  • 名词：students 为从句宾语核心词
  • 副词：away 修饰动词：drive

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• which can drive …… students …… —— 能够赶走……学生……