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Background

神经网络如何识别图片

左上角的图片具有25个像素点（5x5），展开为一个vector变为 25x1，也就是从$x_0^0$到$x_{24}^0$ ，脚标表示行，上标表示列。
$a_{i,j}^k$，$i$表示上一层节点序号，$j$表示这一层节点序号，$k$表示网络层数，$b_{i,j}^k$同理。

输出层有10个节点对应0～9每种数字对应的可能性（i.e. 概率），且输出层所有概率总和为1，因此在输出前需要用softmax进行归一化。为了使得结论正确，需要不断调整参数，使得$x_7^4$趋近于1，其他输出趋近于0。从而使得神经网络问题变为一个最优化问题。

这里是一张图片的计算，而训练数据集中有几万张，因此重复几万6 次以获得一组合适的网络参数，该神经网络则具备预测的能力。

图像拆分为一维像素阵列，输入到神经网络：

1. 通过节点像素计算公式，图像信息传播到输出层
2. 通过 SoftMax归一化，得到概率分布
3. 通过大量图像数据的训练，不断调整网络参数，让概率分布更接近真实值

神经网络本质=数学函数，训练的过程=调整函数中的参数

另外：

1. 但是每次训练一张效率太低，因此我们每次训练一批（batch）
2. 节点计算可以通过激活函数变为非线性

MNIST数据集

手写数字图片7万张：训练集6万张+测试集1万张

MNIST数据集中每张图片

• 大小为28x28像素
• 每个像素的灰度值范围为0～255
• 每张图片配有一个标记：真实值

Code for Mac

我的设备是macbook M3，没有GPU，所以需要用的Apple的GPU加速框架 MPS

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
from torch.utils.data import DataLoader
from torchvision import transforms
from torchvision.datasets import MNIST
import matplotlib.pyplot as plt# 1) 设备选择：优先 MPS（Apple GPU），否则 CPU
def get_device():if torch.backends.mps.is_available():return torch.device("mps")return torch.device("cpu")device = get_device()
print("Using device:", device)# 2) 模型：4层全连接
class Net(nn.Module):def __init__(self):super().__init__()self.fc1 = nn.Linear(28*28, 64)self.fc2 = nn.Linear(64, 64)self.fc3 = nn.Linear(64, 64)self.fc4 = nn.Linear(64, 10)  # 10 类def forward(self, x):# x: [B, 1, 28, 28] → 展平到 [B, 28*28]x = x.view(x.size(0), -1)x = F.relu(self.fc1(x))x = F.relu(self.fc2(x))x = F.relu(self.fc3(x))logits = self.fc4(x)          # 这里直接输出 “logits”return logits                  # 交给 CrossEntropyLoss 处理# 3) 数据加载
def get_data_loader(is_train):to_tensor = transforms.Compose([transforms.ToTensor(),                    # [0,1]transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))# 稳定训练（可选但推荐）])dataset = MNIST(root="./data", train=is_train, transform=to_tensor, download=True)return DataLoader(dataset, batch_size=15, shuffle=True)# 4) 评估：计算准确率
@torch.no_grad()
def evaluate(data_loader, net, device):net.eval()correct, total = 0, 0for x, y in data_loader:x, y = x.to(device), y.to(device)logits = net(x)                    # [B,10]pred = logits.argmax(dim=1)        # [B]correct += (pred == y).sum().item()total   += y.size(0)return correct / totaldef main():train_loader = get_data_loader(is_train=True)test_loader  = get_data_loader(is_train=False)net = Net().to(device)criterion = nn.CrossEntropyLoss()                 # 直接搭配logits使用optimizer = torch.optim.Adam(net.parameters(), lr=1e-3)print("Initial accuracy:", evaluate(test_loader, net, device))for epoch in range(2):net.train()for x, y in train_loader:x, y = x.to(device), y.to(device)optimizer.zero_grad()logits = net(x)                           # 前向loss = criterion(logits, y)               # CE会内部做log-softmaxloss.backward()                           # 反向optimizer.step()                          # 更新acc = evaluate(test_loader, net, device)print(f"Epoch {epoch} | Test Acc: {acc:.4f}")# 随机看几张预测net.eval()shown = 0for x, y in test_loader:x, y = x.to(device), y.to(device)logits = net(x)pred = logits.argmax(dim=1)for i in range(min(3, x.size(0))):plt.figure()plt.imshow(x[i,0].cpu(), cmap="gray")plt.title(f"Pred: {int(pred[i])} | True: {int(y[i])}")plt.axis("off")shown += 1if shown >= 3:plt.show()returnif __name__ == "__main__":main()