PN结的交流等效电阻

作为半导体器件中最常见的PN结，他的等效模型是很常用的，

下面我们讨论PN结在交流小信号模型中为何表现出电阻性，以及电阻的决定值。

基础知识只有PN的电流公式：
$$I_D=I_s(e^{\frac{V_D}{n{V}_T}}-1)$$
这是直流电流公式，我们知道，交流小模型实际上是在直流上的一个小小的电压“扰动”， 表现在数学上，就是在直流工作点处的"斜率"

交流小信号的电阻是：$$r=\frac{\Delta V}{\Delta I}$$ – 在直流工作点上微小的电压扰动带来的电流变化，这个特性展现就是阻性

那还说啥了，直接求导不就完了。
$$\begin{array}{rl}& 如果我们的PN已经导通（工程意义上），那必然有e^{\frac{V_D}{n{V}_T}}\gg 1\\ & 所以我们使用的电流公式是：I_D=I_s{e}^{\frac{V_D}{n{V}_T}}，这也是当前的电流I_D\\ & 如果PN两端的电压在直流工作点上变化了\Delta V（交流小信号扰动）\\ & 那新的电流就是:I^{\prime }=I_s{e}^{\frac{V_D+\Delta V}{n{V}_T}}\\ & 所以电流的变化就是\Delta I=I^{\prime }-I\\ & =I_s{e}^{\frac{V_D+\Delta V}{n{V}_T}}-I_s{e}^{\frac{V_D}{n{V}_T}}\\ & =I_s{e}^{\frac{V_D}{n{V}_T}}\left(e^{\frac{\Delta V}{n{V}_T}}-1\right)\\ & =I_D\left(e^{\frac{\Delta V}{n{V}_T}}-1\right)\\ & 这个公式还是太复杂，由于这是小信号，可以使用等价无穷小这个数学技巧\\ & 因为\Delta V\ll \frac{kT}{e}\\ & 所以\Delta I=I_D\cdot \left(1+\frac{\Delta V}{n{V}_T}-1\right)=I_D\cdot \frac{\Delta V}{n{V}_T}\\ & 综上，\boxed{\Delta I=I_D\cdot \frac{\Delta V}{n{V}_T}}\end{array}$$

Q1信号幅度远远小于热电压，而热电压常温下是26mV，可能有人想吐槽，\ 这也太小了，万一小信号电压大了呢？

只能说数量级一致ヾ(•ω•`)o ， 理论和现实还是有些距离的

Q2这个公式也用在BJT的基极回路的分析中，因为基极回路就是一个PN结

嗯，然后我们从这个公式容易得出PN结表现的交流电阻的值
$$\begin{gathered} r=\frac{\Delta V}{\Delta I}=\frac{n{V}_T}{I_D} \\ （因为是交流电阻，这个r用小写） \\ （n由工艺决定，一般是取1） \end{gathered}$$
从这个公式，我们能得到一些有趣的结论

• PN结交流电阻r是变化的，和直流电流呈现反比，和热电压呈现正比
• PN结的交流电阻r在小电流时约几欧，大电流时仅零点几欧
• 哪怕是不同材质的PN结，规律一致，硅管和锗管在直流电流一致的时候，表现的交流电阻是一致的。 原理见下方：
  

嗯，老师前些日子教诲我说，要研究的更深入一点。思考不能仅提留在表面或者浅尝辄止。值得思考我接下来该研究什么😶‍🌫️😶‍🌫️😶‍🌫️😶‍🌫️ 我打算先开一个专栏，分析半导体器件的特性，也算复习本科时候的基础知识，就叫Basic Analog Guide 吧。 虽然我的水平可能不够做大家的Guiderヾ(•ω•`)o
不过尝试一下，也是监督自己。
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